On 3/20/06, Dymitri Cardoso Leão <
dymitri_leao@hotmail.com> wrote:
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
1) Determine todos os inteiros positivos k para os quais 2^8+2^11+2^k é um
quadrado perfeito.
Não estou conseguindo reduzir satisfatoriamente os casos. Eu pensei assim:
2^8 + 2^11 = 2^8 . 3^2 => 2^8 + 2^11 + 2^k = (2^4 . 3)^2 + 2^k = n^2, com
n inteiro. Daí, n^2 - (48)^2 = 2^k => (n+48)(n-48) = 2^k.
Daqui, podemos concluir que n > 48 => k > 7 e que n deve ser par.
Mas daí em diante não consegui desenvolver.
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Caro Dymitri,
Considere S = 2^8 + 2^11 + 2^k = n^2.
Vendo módulo 3, temos que os possíveis resíduos para n^2 são 0 ou 1.
Mas 2^8 == 0 e 2^11== - 1 (mód 3), e portanto, temos que 2^k==0 ou
2^k==1 (mód 3) o que nos leva ao claro resultado de que k==0 (mód 2).
Para k=8 temos que S = 2^9 + 2^11 = 2^9*(1+2^2) = 2^9*(5), que não é quadrado perfeito.
Considere o caso em que k<8.
Seja d = mdc(2^8, 2^11, 2^k) = 2^k.
Então S = 2^k*(2^(8-k) + 2^(11-k) + 1) = n^2. Como 2^k é quadrado perfeito, temos que 2^(8-k) + 2^(11-k) + 1 também é.
Seja 2^(8-k) + 2^(11-k) + 1 = m^2, m inteiro positivo, temos que 2^(8-k)*(1+2^3) + 1 = m^2.
Mas 2^(8-k)*(1+2^3) = 2^(8-k)*9, que é quadrado perfeito maior que 1 e portanto, para k<8 não temos solução.
Agora considere k>8. Temos que mdc(2^8, 2^11, 2^k)=2^8. Portanto temos que S= 2^8*(1+2^3+2^(k-8))= 2^8*(9+2^(k-8)) = n^2.
Mas como 2^8 é quadrado perfeito, temos que 9+2^(k-8) também deve ser.
Seja 2^(k-8) + 9 = m^2, k = 2*t, 9 = (m+2^(t-4))*(m-2^(t-4)).
como m > sqrt (2^(k-8)) = 2^(t-4), temos que ambas as parcelas acima
são positivas, e como 2^(t-4) > 0, ambas são diferentes. Logo,
chegamos ao resultado de que m + 2^(t-4) = 9 e m - 2^(t-4) = 1.
Resolvendo o sistema, temos que m=5, e assim, t-4 = 2 <=> t=6.
Portanto, o único k que satisfaz o enunciado é k = 12. Testando, temos
que 2^8*(1+8+16)= 2^8*(25) que é realmente um quadrado perfeito.
Obs.: Espero que esta solução esteja correta, caso encontrem algum erro
favor notificar-me; mas como conferi uma vez rapidamente creio que não
haja.
[]'s,
Rafael Oda