Re: [obm-l] Teoria dos números

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

A solução do Rafael está certa (só tem um typo: na
verdade 2^8 == 1 mód 3), mas só queria ressaltar que
dá para terminar de onde o Dymitri parou. De fato,
como (n+48)(n-48) = 2^k, ambos n+48 e n-48 são
potências de 2, ou seja, n+48 = 2^r e n-48 = 2^s, com
r+s = k.

Isso implica 2^r - 2^s = 96, ou seja, 2^s(2^(r-s)-1) =
2^5*3. Como 2^(r-s)-1 é ímpar, s = 5 e 2^(r-s)-1 = 3,
ou seja, r = 7. Portanto k = 7 + 5 = 12.

[]'s
Shine

--- Rafael Oda <rafael.oda@gmail.com> wrote:

> On 3/20/06, Dymitri Cardoso Leão
> <dymitri_leao@hotmail.com> wrote:
> >
> > Gostaria de ajuda na seguinte questão:
> >
> > 1) Determine todos os inteiros positivos k para os
> quais 2^8+2^11+2^k é um
> > quadrado perfeito.
> >
> > Não estou conseguindo reduzir satisfatoriamente os
> casos. Eu pensei assim:
> >
> > 2^8 + 2^11 = 2^8 . 3^2 => 2^8 + 2^11 + 2^k = (2^4
> . 3)^2 + 2^k = n^2, com
> > n inteiro. Daí, n^2 - (48)^2 = 2^k => (n+48)(n-48)
> = 2^k.
> >
> > Daqui, podemos concluir que n > 48 => k > 7 e que
> n deve ser par.
> > Mas daí em diante não consegui desenvolver.
> >
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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> 
> Caro Dymitri,
> 
> Considere S = 2^8 + 2^11 + 2^k = n^2.
> Vendo módulo 3, temos que os possíveis resíduos para
> n^2 são 0 ou 1. Mas 2^8
> == 0 e 2^11== - 1 (mód 3), e portanto, temos que
> 2^k==0 ou 2^k==1 (mód 3) o
> que nos leva ao claro resultado de que k==0 (mód 2).
> Para k=8 temos que S = 2^9 + 2^11 = 2^9*(1+2^2) =
> 2^9*(5), que não é
> quadrado perfeito.
> Considere o caso em que k<8.
> Seja d = mdc(2^8, 2^11, 2^k) = 2^k.
> Então S = 2^k*(2^(8-k) + 2^(11-k) + 1) = n^2. Como
> 2^k é quadrado perfeito,
> temos que 2^(8-k) + 2^(11-k) + 1 também é.
> Seja 2^(8-k) + 2^(11-k) + 1 = m^2, m inteiro
> positivo, temos que
> 2^(8-k)*(1+2^3) + 1 = m^2.
> Mas 2^(8-k)*(1+2^3) = 2^(8-k)*9, que é quadrado
> perfeito maior que 1 e
> portanto, para k<8 não temos solução.
> Agora considere k>8. Temos que mdc(2^8, 2^11,
> 2^k)=2^8. Portanto temos que
> S= 2^8*(1+2^3+2^(k-8))= 2^8*(9+2^(k-8)) = n^2.
> Mas como 2^8 é quadrado perfeito, temos que
> 9+2^(k-8) também deve ser.
> Seja 2^(k-8) + 9  = m^2, k = 2*t, 9 =
> (m+2^(t-4))*(m-2^(t-4)).
> como m > sqrt (2^(k-8)) = 2^(t-4), temos que ambas
> as parcelas acima são
> positivas, e como 2^(t-4) > 0, ambas são diferentes.
> Logo, chegamos ao
> resultado de que m + 2^(t-4) = 9 e m - 2^(t-4) = 1.
> Resolvendo o sistema, temos que m=5, e assim, t-4 =
> 2 <=> t=6.
> Portanto, o único k que satisfaz o enunciado é k =
> 12. Testando, temos que
> 2^8*(1+8+16)= 2^8*(25) que é realmente um quadrado
> perfeito.
> 
> Obs.: Espero que esta solução esteja correta, caso
> encontrem algum erro
> favor notificar-me; mas como conferi uma vez
> rapidamente creio que não haja.
> 
> []'s,
> Rafael Oda
> 


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