Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com
números complexos??
Todas as propriedades dos polinomios que dependam apenas
das leis algebricas vigentes no corpo dos reais sao validas no corpo dos
complexos, pois os complexos formam um corpo com relacao aas operacoes
de adicao e de multiplicacao. Por exemplo, as relações de Girard sao
validas para polinomios definidos no corpo dos
complexos.
por exemplo, na equação w^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma
das raizes é igual a 0?
Se
w = a+ b*i, a e b reais, entao a equacao w^2 + |w| = 0
equivale a a^2 - b^2 +|w| + 2*a*b*i =0. Como |w| =
+raiz(a^2 + b^2) eh real, temos que 2*a*b = 0 => a=0 ou b=0. Se b =0, w
eh real e a unica solucao eh w = 0. Se a = 0, entao w = b*i e
-b^2 +|b| = 0. Se b>=0, temos -b^2 +b = 0 => b =0. Se b<0,
entao -b^2 - b = 0 => b= -1. Assim , as solucoes da
equacao sao w = 0 e w=-i. A soma da raizes eh
-i.
Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes
n-ésima da unidade.
1/Z1 é uma das raízes da unidade?
Sim, pois
pelas leis algebricas do corpo dos complexos, (1/z1)^n = 1/(z1^n) =1/1
=1.,
Artur