Re: [obm-l] demonstração

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

 

x0 e y0 sao inteiros e pertencem a reta

ax0 +by0 +c=0

isolando y0

y0 = -a/b *x0 -c/b

 

como y0 e inteiro

-c/b e inteiro

-x0*a/b =inteiro=I

 

-a/b =coeficiente angular da reta

-a/b = (yn-y0)/(xn-x0)=I/x0=razao entre dois numeros inteiros

multiplicando por dois numeros inteiros em cima e em baixo de I/x0, obteremos, lembrando que o produto de dois numeros inteiros e um numero inteiro.

 

 

yn-y0=I*I1

xn-x0=x0*I2

xn,yn, sao pontos quaisquer da reta, infinitos pontos gerados

 

yn = I*I1 +y0

xn = x0*(I2+1)

 

o que mostra que existem infinitos outros pontos de coordenadas inteiras na reta, abraço, saulo.

 

 

On 8/28/05, Renato G Bettiol <renatobettiol@gmail.com> wrote:

Caríssimos,

Tal problema estava na terceira fase da olimpíada de matemática da Unicamp, elaborada por A. C. Patrocínio.

"Sejam a, b e c números naturais não-nulos e suponha que a reta ax+by+c=0 passe pelo ponto (xo,yo) com xo e yo inteiros. Mostre que a mesma reta passa por infinitos pontosde coordenadas inteiras."

Não sei se está correta minha resolução, que foi a de isolar xo e yo, afinal são raízes da equação. Somei então duas constantes inteiras, k' e k'', uma a xo e outra a yo. Isolando novamente xo e yo, acrescidos agora desta constante, e colocando-os de volta na equação, obtem-se

a(xo+2k') + b(yo+2k'') + c = 0

o que nitidamente mostra que (xo+2k';yo+2k'') é outra raiz da equaçao, outro ponto de inteiros pelo qual a reta passa. E assim, por indução, temos que ha infinitos pontos de coordenadas inteiras que satisfazem ax+by+c=0.

Será que poderiam comentar a resolução? Haveria uma interpretação geométrica? Pensei em semelhança de triângulos, para fazer a mesma demonstraçao de um modo pouco mais elegante...

Abraço a todos, agradeço previamente,

 

Renato