Re: [obm-l] Magica Matematica

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

A solucao "mais conhecida" deste problema
saiu numa super-interessante ha' 5 anos.
Se nao me engano este problema foi estudado por
alguem chamado Frisk (ou algo parecido, pois 5 anos
e' muita coisa para minha memoria).
Ele estudava este tipo
de coisa, dentro do campo de codificacao.

O "truque" e' observar que em aritmetica
modular/circular, o valor absoluto da diferenca
de duas cartas do mesmo naipe e' no maximo 6!

Assim, olhando as 5 cartas, o assistente deve
observar que ha' (pelo menos) duas do mesmo naipe
e escolher "A MENOR" destas cartas para ser a carta
oculta.

A definicao de "MENOR" e' a carta
cuja distancia para outra seja a menor possivel,
usando aritmetica circular modulo 13 (pois
cada naipe tem 13 cartas). Assim, por exemplo,
entre "7" e "J" (11) de um mesmo naipe,
o "7" e' o menor pois de "7" para "J" devemos somar 4, porem
de "J" para "7" devemos somar 9 (pensando de forma circular).
Porem, entre "3" e "Q"(12) de um mesmo naipe, a "Q" e' a menor!
Pois de "3" para "Q" devemos somar 9 e de "Q" para "3" somamos
apenas 4.

Com esta logica, a carta MENOR tem uma distancia no maximo
igual a 6 em relacao a carta MAIOR (do mesmo naipe).

Se voce entendeu ate' aqui agora e'facil.

i) identifique a repeticao de naipe (se tiver mais de 2 cartas
do mesmo naipe nao ha' problema algum; se houver duas repeticoes
de naipe, tambem nao ha' problema algum).
ii) identifique dentro de uma repeticao de naipe qualquer a
"MENOR" dentre duas cartas de mesmo naipe.
iii) oculte a outra carta do mesmo naipe que a carta "MENOR"
e coloque a carta "MENOR" numa posicao (posicao 1)
previamente combinada com o professor.

A carta "MENOR" vai indicar o 
naipe da carta oculta e vai ainda dar uma "origem" ou "referencia"
para o numero da carta oculta.

iv) use as tres outras cartas (de naipes aleatorios) para
codificar a diferenca que deve ser acrescida a carta "MENOR" para
se identificar o numero da carta oculta. Pela definicao de "MENOR",
esta diferenca e' no maximo 6. Assim, podemos usar um codigo simples
de ordenacao das outras 3 cartas:

iv.1) devemos ordenar as outras 3 cartas em ordem "numerica"
onde P < M < G (pequena < media < grande), e usar um codigo simples
como:

ordem colocada:   diferenca
PMG               +1
PGM               +2
MPG               +3
MGP               +4
GPM               +5
GMP               +6

Se as cartas tem o mesmo numero, devemos dar algum tipo
de ordenacao aos naipes para definir nossa ordenacao das tres cartas.
O mais simples e' usar a ordem alfabetica:

paus > ouros > espadas > copas

Assim, com as tres cartas adicionais, usando o codigo acima,
determina-se a diferenca
que deve ser acrescida a carta "MENOR" (que esta'na posicao 1)
para determinar a carta oculta.

Abraco,
sergio

On Mon, 1 Aug 2005, Nicolau C. Saldanha wrote:

> On Fri, Jul 29, 2005 at 10:50:41AM -0400, Qwert Smith wrote:
> > Vc acaba de chegar pra sua primeira aula de um curso introdutorio de 
> > matematica.  O professor e seu assistente convidam todos os alunos a 
> > participar de um truque de cartas.  O prof. sai da sala enquanto o 
> > assistente pede aos alunos que escolham 5 cartas de um baralho normal de 52 
> > cartas.
> > O assistente pega as cinco escolhidas e arruma elas na mesa do prof.  sendo 
> > 4 com o valor a mostra e uma virada.  O prof entao retorna pra sala e ao 
> > bater o olho nas cartas em sua mesa diz o valor e naipe da carta virada pra 
> > baixo.  Os alunos apludem, cocam a cabeca, procuram marcas nas cartas ate 
> > que o prof diz:  "Vcs vao se dividir em pares e teram que fazer o mesmo 
> > truque pra turma.  Vai valer 80% da sua nota."  E ai?  Vai correr e pedir 
> > transferencia pra outra turma?  Compra um livro de magica pra tentar 
> > garantir a nota?  Como fazer o truque?
> 
> Nesta minha solução, o público pode escolher a carta a ser virada e
> as cartas são simétricas, assim é impossível dizer se elas estão
> "de cabeça para baixo". Quem vai botar as 5 cartas na mesa é um aluno
> e não o assistente, assim é impossível ao assistente passar informação
> para o professor através de pequenos deslocamentos nas posições
> das cartas. A única coisa que o assistente pode escolher é a *ordem*
> das 5 cartas (incluindo a virada): isto basta com sobra.
> 
> O professor e o assistente combinam com antecedência uma numeração para
> as 52 cartas, por exemplo:
> número da carta = valor da carta + 13*(valor do naipe)
> onde espadas (!), copas (@), paus (#) e ouros ($) valem respectivamente
> 0, 1, 2, 3; A, J, Q e K valem 1, 11, 12 e 13, respectivamente.
> Eles também combinam uma numeração para as 120 permutações de {1,2,3,4,5}:
> eles podem usar, por exemplo, a ordem lexicográfica:
> 12345 = 0
> 12354 = 1
> 12435 = 2
> 12453 = 3
> 12534 = 4
> 12543 = 5
> 13245 = 6
> ...
> 54321 = 119
> 
> O assistente agora encodifica o número da carta com uma permutação
> e coloca as cartas na mesa na ordem indicada pela permutação,
> seguindo a convenção que a carta virada vale 0.
> 
> Por exemplo, digamos que as cinco cartas selecionadas sejam
> 3!, K!, 2@, 5#, J$ e que a carta que deve ficar virada é o 5#.
> O assistente calcula que o número do 5# é 31 e que a permutação
> de número 31 é 23154 e portanto ordena as cartas assim:
> 
>   3!  K! (5#) J$ 2@
> 
> O professor reconhece a permutação, seu número e portanto a carta.
> 
> A única coisa que falta é explicar como traduzir rapidamente
> de permutação para número e vice-versa.
> A permutação funciona como uma multibase:
> n = 24*a + 6*b + 2*c + d, 0 <= a < 5, 0 <= b < 4, 0 <= c < 3, 0 <= d < 2.
> Por exemplo, 31 = 24*1 + 6*1 + 2*0 + 1.
> Cada uma das letras a, b, c, d indica a posição do próximo cara.
> Assim, por exemplo, a = 1 indica que o primeiro cara na permutação é 2;
> b = 1 indica que o próximo é 3; ...
> O professor e o assistente devem praticar isto um pouco antes para
> poderem fazer isto rápido e sem errar.
> 
> []s, N.
> 
> 
> 
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================