Re: [obm-l] Magica Matematica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jul 29, 2005 at 10:50:41AM -0400, Qwert Smith wrote:
> Vc acaba de chegar pra sua primeira aula de um curso introdutorio de 
> matematica.  O professor e seu assistente convidam todos os alunos a 
> participar de um truque de cartas.  O prof. sai da sala enquanto o 
> assistente pede aos alunos que escolham 5 cartas de um baralho normal de 52 
> cartas.
> O assistente pega as cinco escolhidas e arruma elas na mesa do prof.  sendo 
> 4 com o valor a mostra e uma virada.  O prof entao retorna pra sala e ao 
> bater o olho nas cartas em sua mesa diz o valor e naipe da carta virada pra 
> baixo.  Os alunos apludem, cocam a cabeca, procuram marcas nas cartas ate 
> que o prof diz:  "Vcs vao se dividir em pares e teram que fazer o mesmo 
> truque pra turma.  Vai valer 80% da sua nota."  E ai?  Vai correr e pedir 
> transferencia pra outra turma?  Compra um livro de magica pra tentar 
> garantir a nota?  Como fazer o truque?

Nesta minha solu��o, o p�blico pode escolher a carta a ser virada e
as cartas s�o sim�tricas, assim � imposs�vel dizer se elas est�o
"de cabe�a para baixo". Quem vai botar as 5 cartas na mesa � um aluno
e n�o o assistente, assim � imposs�vel ao assistente passar informa��o
para o professor atrav�s de pequenos deslocamentos nas posi��es
das cartas. A �nica coisa que o assistente pode escolher � a *ordem*
das 5 cartas (incluindo a virada): isto basta com sobra.

O professor e o assistente combinam com anteced�ncia uma numera��o para
as 52 cartas, por exemplo:
n�mero da carta = valor da carta + 13*(valor do naipe)
onde espadas (!), copas (@), paus (#) e ouros ($) valem respectivamente
0, 1, 2, 3; A, J, Q e K valem 1, 11, 12 e 13, respectivamente.
Eles tamb�m combinam uma numera��o para as 120 permuta��es de {1,2,3,4,5}:
eles podem usar, por exemplo, a ordem lexicogr�fica:
12345 = 0
12354 = 1
12435 = 2
12453 = 3
12534 = 4
12543 = 5
13245 = 6
...
54321 = 119

O assistente agora encodifica o n�mero da carta com uma permuta��o
e coloca as cartas na mesa na ordem indicada pela permuta��o,
seguindo a conven��o que a carta virada vale 0.

Por exemplo, digamos que as cinco cartas selecionadas sejam
3!, K!, 2@, 5#, J$ e que a carta que deve ficar virada � o 5#.
O assistente calcula que o n�mero do 5# � 31 e que a permuta��o
de n�mero 31 � 23154 e portanto ordena as cartas assim:

  3!  K! (5#) J$ 2@

O professor reconhece a permuta��o, seu n�mero e portanto a carta.

A �nica coisa que falta � explicar como traduzir rapidamente
de permuta��o para n�mero e vice-versa.
A permuta��o funciona como uma multibase:
n = 24*a + 6*b + 2*c + d, 0 <= a < 5, 0 <= b < 4, 0 <= c < 3, 0 <= d < 2.
Por exemplo, 31 = 24*1 + 6*1 + 2*0 + 1.
Cada uma das letras a, b, c, d indica a posi��o do pr�ximo cara.
Assim, por exemplo, a = 1 indica que o primeiro cara na permuta��o � 2;
b = 1 indica que o pr�ximo � 3; ...
O professor e o assistente devem praticar isto um pouco antes para
poderem fazer isto r�pido e sem errar.

[]s, N.





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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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