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Re: RES: [obm-l] Medida

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: RES: [obm-l] Medida
From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>
Date: Mon, 11 Jul 2005 10:54:47 -0700 (PDT)
DomainKey-Signature: a=rsa-sha1; q=dns; c=nofws; s=s1024; d=yahoo.com; h=Message-ID:Received:Date:From:Subject:To:In-Reply-To:MIME-Version:Content-Type:Content-Transfer-Encoding; b=lC3ZbtXPTr1aHgOd4XV7CeL/xm7oBtsfGSJJ/ksmxs0vhFM5TsAgP6ba711CbktFiO1xISKjOF27rEfn7yAqWsWQ6x6VGBuo9664IewlzLPEnJb44L7Ja7t4yXdxh6P1hXM7nRWojN52ayxyK1spbUor9sAyIfGIYqn4f0/U30M= ;
In-Reply-To: <1bcd8af05070613183e7af64e@mail.gmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Eh sim, mas na realidade o enunciado do problema
estava mesmo correto. Se A tem medida nula, entao para
qualquer B, A X B tem medida nula, mesmo que B nmao
seja mensuravel. Eh o caso da sigma-algebra completa.

Abracos
Artur

 


--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE
> definir uma funçao
> medida para todos os subconjuntos de R (portanto
> pode esquecer R^n),
> pois existe um jeito (utilizando o Axioma da
> Escolha) de construir um
> conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva.
> A idéia principal
> é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em
> conjuntos que tem
> que ter a mesma medida. Para criar esta
> decomposiç~ao, você utiliza o
> Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo
> disto.
> 
> Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma
> coisa bem legal, e
> lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja,
> aquelas para as quais
> X tem medida nula => todo Y contido em X está na
> sigma-álgebra e
> também - por estar contido em X, nao poderia ser
> diferente - tem
> medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram,
> A x R^m tem medida
> nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B
> contido em A x R^m,
> e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que
> contém os abertos
> de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida
> zero. Esta
> demonstraçao está contida na que você deu (bastando
> notar que B está
> contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On 7/6/05, Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> > Oi Artur,
> > Consegui fazer algo parecido, embora mais
> elementar,
> > pois nao conheco muita coisa deste assunto: para
> cada
> > ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um
> cubo
> > unitario com centro neste ponto. Fixemo s um
> destes
> > cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
> > dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
> > resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
> > AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
> > PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido
> para
> > qq subconjunto de Rn.
> > 
> > Tertuliano
> > 
> > --- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
> > escreveu:
> > 
> > > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> > > pouquinho mais simples do que
> > > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> > > paralelepipedos abertos e
> > > limitados para conjuntos genericos limitados,
> > > poderiamos ter invocado
> > > diretamente a sigma-subaditividade da medida.
> Antes
> > > de apresentar a prova,
> > > uma observacao de um fato sutil que me passou
> > > desapercebido. O enunciado
> > > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> > > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> > > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a
> medida de
> > > Lebesgue). No caso, B
> > > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> > > gerada pelos conjuntos
> > > abertos de R^n
> > >
> > > A prova poderia ser assim:
> > >
> > > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > > paralelepipedo limitado e aberto
> > > de R^n de hipervolume
> > > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula,
> para
> > > todo eps>0 podemos
> > > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada
> um
> > > com hipervolume V_k, tal
> > > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> > > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel
> de A
> > > X P por paralelepipedos
> > > abertos de R^(m+n). O
> > > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k
> * V
> > > = V *  Soma(k>=1)V_k <
> > > V * eps/V = eps. Como eps eh
> > > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula
> em
> > > R^(m+n).
> > >
> > > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> > > colecao enumeravel (nao
> > > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de
> paralelepipedos
> > > abertos de hipervolume
> > > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> > > (nao necessariamente
> > > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida
> nula e
> > > cada Q_k eh um
> > > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> > > anterior nos mostra que cada A
> > > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> > > sigma-sub-aditividade da medida,
> > > concluimos que A X R^n tem medida nula. E
> valendo
> > > esta conclusao para o caso
> > > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> > > qualquer subconjunto
> > > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em
> A X
> > > R^n e subconjuntos
> > > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> > >
> > > A sigma-sub-aditividade da medida eh a
> propriedade
> > > segundo a qual se {A_n}
> > > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> > > mensuraveis e A eh a uniao desta
> > > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> > > entendendo-se esta desigualdade no
> > > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> > > disjunta 2 a 2, ocorre
> > > igualdade.
> > >
> > > Artur
> > >
> > >
> > >
> > > --- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> > >
> > > > Oi para todos!
> > > > Alguem pode me ajudar neste?
> > > >
> > > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em
> Rm
> > > um
> > > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > > >
> > > > Grato,
> > > > Tertuliano
> > > >
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References:
- Re: RES: [obm-l] Medida
  - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa

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