Re: RES: [obm-l] Medida

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.

Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais
X tem medida nula => todo Y contido em X está na sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 7/6/05, Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> Oi Artur,
> Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
> pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
> ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
> unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
> cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
> dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
> resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
> AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
> PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
> qq subconjunto de Rn.
> 
> Tertuliano
> 
> --- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
> escreveu:
> 
> > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> > pouquinho mais simples do que
> > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> > paralelepipedos abertos e
> > limitados para conjuntos genericos limitados,
> > poderiamos ter invocado
> > diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> > de apresentar a prova,
> > uma observacao de um fato sutil que me passou
> > desapercebido. O enunciado
> > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> > Lebesgue). No caso, B
> > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> > gerada pelos conjuntos
> > abertos de R^n
> >
> > A prova poderia ser assim:
> >
> > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > paralelepipedo limitado e aberto
> > de R^n de hipervolume
> > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> > todo eps>0 podemos
> > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> > com hipervolume V_k, tal
> > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> > X P por paralelepipedos
> > abertos de R^(m+n). O
> > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> > = V *  Soma(k>=1)V_k <
> > V * eps/V = eps. Como eps eh
> > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> > R^(m+n).
> >
> > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> > colecao enumeravel (nao
> > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> > abertos de hipervolume
> > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> > (nao necessariamente
> > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> > cada Q_k eh um
> > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> > anterior nos mostra que cada A
> > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> > sigma-sub-aditividade da medida,
> > concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> > esta conclusao para o caso
> > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> > qualquer subconjunto
> > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> > R^n e subconjuntos
> > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> >
> > A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> > segundo a qual se {A_n}
> > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> > mensuraveis e A eh a uniao desta
> > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> > entendendo-se esta desigualdade no
> > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> > disjunta 2 a 2, ocorre
> > igualdade.
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> > --- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> >
> > > Oi para todos!
> > > Alguem pode me ajudar neste?
> > >
> > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> > um
> > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > >
> > > Grato,
> > > Tertuliano
> > >
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