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RES: [obm-l] Valor intermeio



Aqui vale alguns coment�rios: 1) o centro de uma circunfer�ncia que passa por A e B est� na mediatriz de A e B. Al�m disso, o raio dela � sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de “ir diminuindo o n�mero de pontos dentro da circunfer�ncia” me parece um pouco simplificado. Por�m a id�ia central est� correta. Deve-se pensar que existe um caminho cont�nuo de circunfer�ncias (basta escolher um caminho de centros sobre a mediatriz) de forma que no in�cio todos os pontos est�o dentro dela e no final nenhum ponto est�. Da� pode-se concluir que “em algum instante no meio do caminho” tem-se uma circunfer�ncia que cont�m apenas n pontos. E a constru��o desse caminho n�o � complicada. 2) Deve-se assumir tamb�m que n�o h� 3 pontos colineares, que � usado no in�cio demonstra��o.

 

Um abra�o. Pedro.

 

 


De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de claudio.buffara
Enviada em: Sunday, July 10, 2005 2:13 PM
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] Valor intermeio

 

 

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

 

C�pia:

 

Data:

Sun, 10 Jul 2005 12:41:57 +0200

 

Assunto:

[obm-l] Valor intermeio

 

> 3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que n�o existam 4 que perten�am a mesma circunferencia, demostrar que existe uma circunferencia que passa por 3 deles e deixa n pontos no seu interior.

>

Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam num unico semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada como uma circunferencia de raio infinito. Em outras palavras, existe um numero positivo R_0 tal que se R > R_0, entao existe uma circunferencia de raio R, passando por A e B, e tal que todos os demais 2n+1 pontos estao em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferencia. Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferencia irah passar por, no maximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quando a circunferencia passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta serah a circunferencia desejada.

 

[]s,

Claudio.