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Aqui vale alguns comentários: 1) o centro
de uma circunferência que passa por A e B está na mediatriz de A e B. Além
disso, o raio dela é sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse
modo o argumento de “ir diminuindo o número de pontos dentro da circunferência”
me parece um pouco simplificado. Porém a idéia central está correta. Deve-se
pensar que existe um caminho contínuo de circunferências (basta escolher um
caminho de centros sobre a mediatriz) de forma que no início todos os pontos
estão dentro dela e no final nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que “em
algum instante no meio do caminho” tem-se uma circunferência que contém
apenas n pontos. E a construção desse caminho não é complicada. 2) Deve-se
assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no início demonstração.
Um abraço. Pedro. De: owner-
> 3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não
existam 4 que pertençam a mesma circunferencia, demostrar que existe uma
circunferencia que passa por 3 deles e deixa n pontos no seu interior. > Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros
estejam num unico semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser
interpretada como uma circunferencia de raio infinito. Em outras palavras,
existe um numero positivo R_0 tal que se R > R_0, entao existe uma
circunferencia de raio R, passando por A e B, e tal que todos os demais 2n+1
pontos estao em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferencia.
Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferencia irah passar por,
no maximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quando a circunferencia
passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare.
Esta serah a circunferencia desejada. []s, Claudio. |