Re: [obm-l] Valor intermeio

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Sam Tatao wrote:
> 2-Dado um polígono convexo e um ponto P no seu interior, demostrar que 
> existem dois pontos A e B nos bordes do polígono, tais que  o ponto 
> medio deles é P. Este eu sei resolver.

	Deve ter jeito mais fácil, mas eu fiz assim:

	Do ponto P, trace uma semi-reta qualquer, que irá
interceptar o polígono em uma distância d. Agora gire a semi-reta,
de modo a percorrer todos os outros pontos do polígono (isso é
possível porque ele é convexo). A distância d irá variar de
acordo com uma função d(theta) que é contínua e periódica de
período 2pi.

	O enunciado é equivalente a dizer que existe um x tal
que f(x)=f(x+pi). Mas analisemos f(x) e f(x+pi). Não pode
acontecer de sempre f(x)>f(x+pi), senão a função seria
estritamente decrescente, mas ela é periódica. Também não
pode ocorrer de sempre f(x)<f(x+pi), pois ela seria
estritamente crescente. Então g(x)=f(x)-f(x+pi) assume
pelo menos um valor positivo, e pelo menos um valor negativo.
Como é contínua, então ela certamente passa pelo zero,
e com isso existe o tal x tal que f(x)=f(x+pi).

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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