Re: [obm-l] Ajuda com um problema sobre fatorização e inteiros

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

--- Bruno Bruno <brunobbruno@gmail.com> escreveu:

> Se x^2 - 5x - 1 é um quadrado perfeito, podemos
> escreve-lo como
> (x-a)^2 , onde a também é inteiro.
> 
> x^2 - 5*x - 1 = (x-a)^2 = x^2 - 2*a*x + a^2
> -5*x - 1 = - 2*a*x + a^2
> 5*x + 1 - 2*a*x + a^2 = 0
> x(5-2*a) + a^2 + 1 = 0
> -x = (a^2 + 1)/(5 - 2*a)

  Até aquí me parece certo.
 
> para que x seja inteiro, sendo a inteiro, basta que
> o denominador seja
> 1 ou -1, ou seja, a=2 ou a=3

  Esta afirmação acaba se confirmando, mas sua origem
me parece obscura...
 
> se a =2 ----> x = -5
> se a=3 -----> x = 10

  Que tal fazer na força bruta?

  x^2 - 5*x - 1 = a^2  com x e a inteiros.

  Aplicando Bhaskara, temos:

  x = ( 5 + ou - sqrt ( 29 + 4a^2))/2.

  Impomos que o discriminante seja o quadrado de um
inteiro, b, i.e.

  29 + 4a^2 = b^2 , uma espécie de equação de Pell (se
 "incorporarmos" o 4 como quadrado de 2 em (2a)^2),
com uma única solução: (a,b)=(7 , 15).
  
  Assim chegamos fácil e claramente em x=-5 ou x=10.

 []s
Wilner

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