Re: [obm-l] TEORIA DO CAOS??

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

>Olá a todos da lista!
>Gostaria de saber um pouco sobre a teoria do caos, eu entendo o que

          Primeiramente temos em matemática uma teoria denominada de teoria
de Sistemas Dinâmicos que surgiu no início do século XX com os trabalhos de
Jules
Henri Poincaré quando este proeminente matemático tentava resolver o
problema de
três corpos.  A teoria dos Sistemas Dinâmicos Caóticos ou "teoria do caos" é
uma subteoria
desta teoria geral - assim como a teoria dos Sistemas Dinâmicos
Hamiltonianos é uma subteoria
da teoria de sistemas dinâmicos.   A natureza escolheu ser Hamiltoniana
quando o sistema é conservativo (energia mecânica = Hamiltoniano =
 energia cinética + energia potencial) .
         Mas o que é o problema de três corpos?
          Originalmente consiste em descrever a trajetória de três corpos
com massas arbitrárias com
velocidades e posições arbitrárias que exercem um ao outro uma força
gravitacional.

          *** Este problema, no seu caso geral, ainda está em aberto.***

         Para ter uma visão geral do problema e outros problemas correlatos
acesse:

          http://www.dynamical-systems.org

         Isaac Newton havia resolvido o problema de dois corpos (problema de
 Kepler) e Jules Henri Poincaré resolveu o problema de três corpos *no
plano*  no caso
em que o terceiro corpo tinha uma massa que tendia para zero.
                Poincaré então foi capaz de descrever
completamente o movimento do terceiro corpo (já que o movimento desse
terceiro corpo não
afetava o movimento dos outros dois corpos, justamente pelo fato de possuir
massa zero, isto é os outros dois
corpos continuavam a ter a trajetória elípitica, com um deles em um dos
focos da elipse).

               Esse trabalho foi publicado com o nome de Les Nouvelle
Methode de La Méchanique Celestie (os
novos métodos da mecânica celestial) no início do século XX.


>significa dizer "uma borboleta bate asas em São Paulo, e causa um tufão na
>Argentina!" :D

             O problema de três corpos resolvido por J.H. Poincaré, é um
exemplo de um sistema
     dinâmico Hamiltoniano (mecânico) caótico.
                           Se soltarmos o terceiro corpo (aquele que tem
massa zero),
um epsilon deslocado de sua posição original, no início, a sua trajetória
não irá divergir muito da trajetória
que qualquer corpo solto naquela vizinhança iria descrever, mas com o passar
do tempo essas trajetórias
irão se tornar cada vez mais espaçadas e seus comportamentos dinâmicos serão
cada vez mais diferentes.

            Esse efeito,em teoria das equações diferenciais,  é denominado
"sensibilidade às condições iniciais".
     Significa que as soluções de um sistema de equações diferenciais é
extremamente sensível às  condições
iniciais e que pequenos desvios nas condições iniciais são amplificados ao
longo do tempo -- Isso que você
está  chamando de "efeito borboleta".

              Mas há duas maneiras sob as quais um sistema dinâmico pode ser
caótico:  Sensibilidade às condições
iniciais e Sensibilidade à parâmetros de controle.  Você pode pensar que a
umidade relativa do ar, por exemplo,
no caso citado do tempo, denominada mu,
seja um parâmetro de controle que mude qualitativamente o comportamento
dinâmico
do sistema e que a direção dos ventos e temperaturas (campo de vetores  em
R^2 e campo de escalares em R^2,
respectivamente) sejam condições inicias para determinação das futuras
direções dos ventos e temperaturas.

             Para um determinado valor de umidade do ar, o sistema não pode
não ser sensível às condições iniciais
-- logo para esse valor de mu o sistema não tem comportamento
"caótico".  Mas ao "mexer" nesse parâmetro de controle  (aumentando ou
diminuindo a umidade do ar)
o sistema pode se tornar sensível às condições iniciais (e portanto
"caótico") e imprevisível a longo prazo.

             Para viajar um pouco, imagine que os níveis de serotonina nos
neurônios do
cérebro (que é um sistema dinâmico), sejam um parâmetro de controle.
                               Se eles estiverem muito baixos a pessoa fica
depressiva, monótona e cabisbaixa.
Se eles estiverem muito altos, a pessoa pode ficar desorientada e
imprevisível, tendo um
comportamento atrapalhaodo e caótico.
                   Logo é bom manter níveis saudáveis de serotonina (o
neurotransmissor da alegria),
que podem ser obtidos de forma simples,  resolvendo a cada novo dia um novo
problema dessa lista.

             Claro que o assunto é complicado por sua própria natureza:  Não
estamos definindo aqui muitos
conceitos essenciais e importantes como "atratores", "fluxos", "mapas
de Poincaré de fluxos", "órbitas periódicas", "órbitas homoclínicas e
heteroclínicas", que existem na maioria
dos sistemas dinâmicos (seja ele o tempo, o cérebro, um pêndulo perturbado,
etc).

          Isso requer um grande conhecimento de topologia, análise e
geometria diferencial -- logo minha
sugestão é que alguém novo que queira se embrenhar estudar esse assunto
fascinante,
 começe primeiro fazendo, com seriedade, um bom curso de álgebra linear
(essencial)
depois de topologia geral, teoria dos grupos, análise real e complexa,
teoria da medida, etc.
         Apenas um conselho sábio, que já me deram - nada pessoal.
         Pois senão, alguém vai empacar quando os problemas mais difícies
aparecerem e por
mais inteligente que seja, não conseguirá colocar as coisas em pé firme, com
resultados rigorosos -
         Confesso que é exatamente isso o que está acontecendo comigo --
Estou tendo que
praticamente fazer um "mestrado"  em matemática para  poder continuar
pesquisando no
"doutorado" ...  Então, por favor, não deixe isso acontecer contigo também
!!!
- risos -
    Embora o assunto seja fascinante, e nos dê uma vontade e motivação
enormes
para saber cada vez mais, não devemos pular etapas em nossa formação ...

           Seria mais fácil para mim ter estudado a coisa desde o início sem
deixar buracos
enquanto eu era mais novo, não é mesmo?  Muitos professores desta lista irão
concordar que esta é a maneira certa de  fazer um curso -- ser humilde,
paciente,
se matricular nas  disciplinas básicas e estudar tudo com muita
seriedade e determinação sem  deixar "buracos" ou conceitos mal entendidos
para trás.

   Faça como Richard Feymann: Tudo que fizer faça de forma que lhe
proporcione prazer e alegria,
sem pensar muito no dinheiro ou em prêmios grandiosos.
            E dessa forma, vamos todos para frente com bastante coragem,
disciplina e determinação.
             Brasileiros não desistem nunca ;-)
             Forte abraço e bons estudos a todos.

Ronaldo Luiz Alonso

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