RE: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano

[kleinad2@xxxxxxxxx]

A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.

Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
q m(R) é constante....), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações,
pode-se supor que p é a origem de R^2. Usando a parametrização x(t) = R*cos(t),
y(t) = R*sen(t), temos m(R) = (integral(0..2pi) de u(R*cos(t), R*sen(t)*R)
dt) / (2pi*R).

Derivando com relação a R, temos m'(R) = (1/(2pi*R))*integral(0..2pi)*((du/dx)*R*cos(t)
+ (du/dy)*R*sen(t)) dt = (1/(2pi*R))*integral(sobre dB) <grad(u), n> ds,
onde <a,b> é o produto interno canônico e n representa o vetor normal unitário
a dB, que por sinal é o bordo de B.

Usando o teorema de Gauss, vem m'(R) = (1/(2pi*R))*integral dupla (sobre
B)  laplaciano(u) dxdy =  0 pois o laplaciano é 0 por hipótese. Assim, m(R)
é constante. Já sabemos que lim m(R) = u(p) quando R -> 0 (usando o exercício
do seu e-mail anterior), logo m(R) = u(p) para todo R.

Falta o 3 ainda...

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'From: "Leonardo Teixeira" <leo_mteixeira@yahoo.com.br>
 '>'To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
 '>'Subject: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano
 '>'Date: Thu, 9 Jun 2005 23:26:35 -0300
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Bem, de fato é um monte de exercícios que um depende do outro. E como
não
 '>'consegui fazer o primeiro, torna-se complicado para mim continuar por
eles.
 '>'Então vou mandar para cá.
 '>'
 '>'Seja D uma região aberta em R² com contorno D'. Seja u: D U D' --> R
uma
 '>'função contínua de classe C² em D. Suponha p pertença a D e um disco
fechado
 '>'B(p) de raio r centrado em p estejam contidos em D por 0 < r < R
 '>'
 '>'Seja n o vetor normal a DB e du/dn* = Grad(u). n. Mostre que
 '>'
 '>'*São derivadas parciais
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'Suponha que u satisfaça a equação de Laplace em D. Mostre que
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'Usando o exercícios acima, mostre que se u é uma função harmônica, i.
e.m
 '>'Laplaciano(u) = 0, então u(p) pode ser expresso pela integral de área
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'Obrigado,
 '>'
 '>'Leonardo
 '>'
 '>'Anexo: ex4.gif
 '>'
 '>'
 '>'Anexo: ex5.gif
 '>'
 '>'
 '>'Anexo: ex6.gif
 '>'



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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