RE: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Não saiu a notação do produto interno.... Abaixo, corrigido:

 '>'A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.
 '>'
 '>'Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
 '>'de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
 '>'q m(R) é constante....), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações,
 '>'pode-se supor que p é a origem de R^2. Usando a parametrização x(t)
= R*cos(t),
 '>'y(t) = R*sen(t), temos m(R) = (integral(0..2pi) de u(R*cos(t), R*sen(t)*R)
 '>'dt) / (2pi*R).
 '>'
 '>'Derivando com relação a R, temos m'(R) = (1/(2pi*R))*integral(0..2pi)*((du/dx)*R*cos(t)
 '>'+ (du/dy)*R*sen(t)) dt = (1/(2pi*R))*integral(sobre dB) grad(u). n ds,
 '>'onde grad(u).n é o produto interno canônico e n representa o vetor normal
unitário
 '>'a dB, que por sinal é o bordo de B.
 '>'
 '>'Usando o teorema de Gauss, vem m'(R) = (1/(2pi*R))*integral dupla (sobre
 '>'B)  laplaciano(u) dxdy =  0 pois o laplaciano é 0 por hipótese. Assim,
m(R)
 '>'é constante. Já sabemos que lim m(R) = u(p) quando R -> 0 (usando o
exercício
 '>'do seu e-mail anterior), logo m(R) = u(p) para todo R.
 '>'
 '>'Falta o 3 ainda...

[]s,
Daniel



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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