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Re: [obm-l] Transcendentes - forma definitiva.



Eu sei. Acabei de mandar uma msg com o enunciado correto e a solucao.

[]s,
Claudio.

on 19.05.05 20:01, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Oi Cl?udio,
> Isso n?o ? exatamente verdade n?o. A seq??ncia a(n) converge se e somente
> se e^(-e) <= x <= e^(1/e). Se 0<x<e^(-e), a seq??ncia a(n) tem dois valores
> de ader?ncia em (0,1). O caso 0<x<1 da' um pouco mais de trabalho que o aso
> x >= 1, mas tamb?m ? legal.
> Abra?os,
> Gugu
> 
>> 
>> Esse tamb=E9m =E9 um belo problema:
>> 
>> Prove que se a(1) =3D x > 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n >=3D 1, ent=E3o a=
>> sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x <=3D e^(1/e).
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> C=F3pia:
>> 
>> Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
>> 
>> Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
>> 
>>> Oi Claudio e demais colegas
>>> desta lista ... OBM-L,
>>> 
>>> Resposta correta.
>>> 
>>> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem resolveu=
>> um 
>>> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das quais
>>> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opcao corret=
>> a. Eu 
>>> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta :
>>> 
>>> Gelfond =3D> raiz(2)^raiz(2) e transcendente =3D> e irracional
>>> 
>>> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numeros
>>> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui entrou o G=
>> UGU, 
>>> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao haviam
>>> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A reclamacao de=
>> le, 
>>> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um problema =
>> : 
>>> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...
>>> 
>>> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", o restan=
>> te ( 
>>> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, r=3Dt^r.=
>> Daqui 
>>> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem perante al=
>> gumas 
>>> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera linchado =
>> e 
>>> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pessoas de =
>> 
>>> essencializar
>>> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao muitas !
>>> 
>>> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o "e" as =
>> 
>>> demais hipoteses.
>>> 
>>> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado esquerdo=
>> do 
>>> cerebro o numero e=3D2,71... Com o lado direito estude as sequencias da=
>> forma 
>>> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a um "raio =
>> de 
>>> convergencia".
>>> 
>>> E com os melhores votos
>>> de paz profunda, sou
>>> 
>>> Paulo Santa Rita
>>> 3,2154,170505
>>> 
>>>> From: "claudio.buffara"
>>>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>> To: "obm-l" 
>>>> Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
>>>> Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
>>>> 
>>>>> Ola Pessoal desta
>>>>> lista ... OBM-L,
>>>>> 
>>>>> Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se=
>> nao 
>>>> me
>>>>> falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma men=
>> os 
>>>> geral.
>>>>> Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
>>>>> 
>>>>> Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebr=
>> ico.
>>>>> Definimos a sequencia :
>>>>> 
>>>>> A(1) =3D T
>>>>> A(N+1) =3D T^A(N)
>>>>> 
>>>>> Se LIM A(N)=3Dr, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N
>>>>> suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue pr=
>> ovar 
>>>> ou
>>>>> refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMEN=
>> TE, o
>>>>> teorema de Gelfond.
>>>>> 
>>>>> Um Abraco a Todos
>>>>> Paulo Santa Rita
>>>>> 3,1242,170505
>>>>> 
>>>>> 
>>>> Oi, Paulo:
>>>> 
>>>> Se lim A(n) existe e =E9 igual ao racional r, ent=E3o lim A(n+1) =3D r=
>> .
>>>> Portanto, teremos: r =3D t^r =3D=3D>
>>>> t =3D r^(1/r) =3D alg=E9brico =3D=3D>
>>>> contradi=E7=E3o, pois estamos supondo que t =E9 transcendente.
>>>> 
>>>> Logo, ou lim A(n) n=E3o existe ou existe mas =E9 irracional.
>>>> 
>>>> Assim, a senten=E7a:
>>>> lim A(n) =E9 racional =3D=3D> A(N) =E9 alg=E9brico para algum N sufici=
>> entemente 
>>>> grande
>>>> =E9 verdadeira, j=E1 que a sua premissa =E9 falsa.
>>>> 
>>>> Era isso o que voc=EA tinha em mente?
>>>> 
>>>> []s,
>>>> Claudio.
>>> 
>> 
>> --_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696
>> Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1
>> Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
>> 
>> <DIV>Esse tamb=E9m =E9 um belo problema:</DIV>
>> <DIV>&nbsp;</DIV>
>> <DIV>Prove que se a(1) =3D x &gt; 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n &gt;=3D 1=
>> , ent=E3o a sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x &lt;=3D e^(1/e=
>> ).</DIV>
>> <DIV>&nbsp;</DIV>
>> <DIV>[]s,</DIV>
>> <DIV>Claudio.</DIV>
>> <DIV>&nbsp;</DIV>
>> <DIV>
>> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>> order=3D0>
>> <TBODY>
>> <TR>
>> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>> S'" size=3D2><B>De:</B></FONT></TD>
>> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>owner-obm-l@mat.=
>> puc-rio.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
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>> order=3D0>
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>> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>> S'" size=3D2><B>Para:</B></FONT></TD>
>> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>obm-l@mat.puc-ri=
>> o.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
>> <DIV>
>> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>> order=3D0>
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>> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>> S'" size=3D2><B>C=F3pia:</B></FONT></TD>
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>> <DIV>&gt; Oi Claudio e demais colegas</DIV>
>> <DIV>&gt; desta lista ... OBM-L,</DIV>
>> <DIV>&gt; </DIV>
>> <DIV>&gt; Resposta correta.</DIV>
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>> resolveu um </DIV>
>> <DIV>&gt; problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das=
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>> o correta. Eu </DIV>
>> <DIV>&gt; invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta=
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>> ional</DIV>
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>> aviam </DIV>
>> <DIV>&gt; hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A recla=
>> macao dele, </DIV>
>> <DIV>&gt; correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um p=
>> roblema : </DIV>
>> <DIV>&gt; este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...</DIV>
>> <DIV>&gt; </DIV>
>> <DIV>&gt; Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", =
>> o restante ( </DIV>
>> <DIV>&gt; o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, =
>> r=3Dt^r. Daqui </DIV>
>> <DIV>&gt; sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem pe=
>> rante algumas </DIV>
>> <DIV>&gt; assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera l=
>> inchado e </DIV>
>> <DIV>&gt; execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pes=
>> soas de </DIV>
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>> <DIV>&gt; o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao mu=
>> itas !</DIV>
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>> <DIV>&gt; Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o=
>> "e" as </DIV>
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>> <DIV>&gt; Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado =
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>> m "raio de </DIV>
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>> <DIV>&gt; 3,2154,170505</DIV>
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>> <DIV>&gt; &gt;To: "obm-l" <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR></DIV>
>> <DIV>&gt; &gt;Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.</DIV=
>>> 
>> <DIV>&gt; &gt;Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300</DIV>
>> <DIV>&gt; &gt;</DIV>
>> <DIV>&gt; &gt; &gt; Ola Pessoal desta</DIV>
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>> sta lista - se nao </DIV>
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>> uma forma menos </DIV>
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>> <DIV>&gt; &gt; &gt; 3,1242,170505</DIV>
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>> te.</DIV>
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>> .</DIV>
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>> <DIV>&gt; &gt;Assim, a senten=E7a:</DIV>
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>> algum N suficientemente </DIV>
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>> --_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696--
>> 
>> =========================================================================
>> Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>> 
> 
> =========================================================================
> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================