[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
Oi Cláudio,
Isso não é exatamente verdade não. A seqüência a(n) converge se e somente
se e^(-e) <= x <= e^(1/e). Se 0<x<e^(-e), a seqüência a(n) tem dois valores
de aderência em (0,1). O caso 0<x<1 da' um pouco mais de trabalho que o aso
x >= 1, mas também é legal.
Abraços,
Gugu
>
>Esse tamb=E9m =E9 um belo problema:
>
>Prove que se a(1) =3D x > 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n >=3D 1, ent=E3o a=
> sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x <=3D e^(1/e).
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>C=F3pia:
>
>Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
>
>Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
>
>> Oi Claudio e demais colegas
>> desta lista ... OBM-L,
>>
>> Resposta correta.
>>
>> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem resolveu=
> um
>> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das quais
>> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opcao corret=
>a. Eu
>> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta :
>>
>> Gelfond =3D> raiz(2)^raiz(2) e transcendente =3D> e irracional
>>
>> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numeros
>> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui entrou o G=
>UGU,
>> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao haviam
>> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A reclamacao de=
>le,
>> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um problema =
>:
>> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...
>>
>> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", o restan=
>te (
>> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, r=3Dt^r.=
> Daqui
>> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem perante al=
>gumas
>> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera linchado =
>e
>> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pessoas de =
>
>> essencializar
>> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao muitas !
>>
>> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o "e" as =
>
>> demais hipoteses.
>>
>> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado esquerdo=
> do
>> cerebro o numero e=3D2,71... Com o lado direito estude as sequencias da=
> forma
>> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a um "raio =
>de
>> convergencia".
>>
>> E com os melhores votos
>> de paz profunda, sou
>>
>> Paulo Santa Rita
>> 3,2154,170505
>>
>> >From: "claudio.buffara"
>> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >To: "obm-l"
>> >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
>> >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
>> >
>> > > Ola Pessoal desta
>> > > lista ... OBM-L,
>> > >
>> > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se=
> nao
>> >me
>> > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma men=
>os
>> >geral.
>> > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
>> > >
>> > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebr=
>ico.
>> > > Definimos a sequencia :
>> > >
>> > > A(1) =3D T
>> > > A(N+1) =3D T^A(N)
>> > >
>> > > Se LIM A(N)=3Dr, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N
>> > > suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue pr=
>ovar
>> >ou
>> > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMEN=
>TE, o
>> > > teorema de Gelfond.
>> > >
>> > > Um Abraco a Todos
>> > > Paulo Santa Rita
>> > > 3,1242,170505
>> > >
>> > >
>> >Oi, Paulo:
>> >
>> >Se lim A(n) existe e =E9 igual ao racional r, ent=E3o lim A(n+1) =3D r=
>.
>> >Portanto, teremos: r =3D t^r =3D=3D>
>> >t =3D r^(1/r) =3D alg=E9brico =3D=3D>
>> >contradi=E7=E3o, pois estamos supondo que t =E9 transcendente.
>> >
>> >Logo, ou lim A(n) n=E3o existe ou existe mas =E9 irracional.
>> >
>> >Assim, a senten=E7a:
>> >lim A(n) =E9 racional =3D=3D> A(N) =E9 alg=E9brico para algum N sufici=
>entemente
>> >grande
>> >=E9 verdadeira, j=E1 que a sua premissa =E9 falsa.
>> >
>> >Era isso o que voc=EA tinha em mente?
>> >
>> >[]s,
>> >Claudio.
>>
>
>--_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696
>Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1
>Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
>
><DIV>Esse tamb=E9m =E9 um belo problema:</DIV>
><DIV> </DIV>
><DIV>Prove que se a(1) =3D x > 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n >=3D 1=
>, ent=E3o a sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x <=3D e^(1/e=
>).</DIV>
><DIV> </DIV>
><DIV>[]s,</DIV>
><DIV>Claudio.</DIV>
><DIV> </DIV>
><DIV>
><TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>order=3D0>
><TBODY>
><TR>
><TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>S'" size=3D2><B>De:</B></FONT></TD>
><TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>owner-obm-l@mat.=
>puc-rio.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
><DIV>
><TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>order=3D0>
><TBODY>
><TR>
><TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>S'" size=3D2><B>Para:</B></FONT></TD>
><TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>obm-l@mat.puc-ri=
>o.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
><DIV>
><TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>order=3D0>
><TBODY>
><TR>
><TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>S'" size=3D2><B>C=F3pia:</B></FONT></TD>
><TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2></FONT></TD></TR=
>></TBODY></TABLE></DIV>
><DIV>
><TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>order=3D0>
><TBODY>
><TR>
><TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>S'" size=3D2><B>Data:</B></FONT></TD>
><TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>Wed, 18 May 2005=
> 00:53:25 +0000</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
><DIV>
><TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b=
>order=3D0>
><TBODY>
><TR>
><TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M=
>S'" size=3D2><B>Assunto:</B></FONT></TD>
><TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>Re:[obm-l] Trans=
>cendentes - forma definitiva.</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV>
><DIV>> Oi Claudio e demais colegas</DIV>
><DIV>> desta lista ... OBM-L,</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Resposta correta.</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem =
>resolveu um </DIV>
><DIV>> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das=
> quais </DIV>
><DIV>> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opca=
>o correta. Eu </DIV>
><DIV>> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta=
> :</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Gelfond =3D> raiz(2)^raiz(2) e transcendente =3D> e irrac=
>ional</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numer=
>os </DIV>
><DIV>> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui en=
>trou o GUGU, </DIV>
><DIV>> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao h=
>aviam </DIV>
><DIV>> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A recla=
>macao dele, </DIV>
><DIV>> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um p=
>roblema : </DIV>
><DIV>> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", =
>o restante ( </DIV>
><DIV>> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, =
>r=3Dt^r. Daqui </DIV>
><DIV>> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem pe=
>rante algumas </DIV>
><DIV>> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera l=
>inchado e </DIV>
><DIV>> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pes=
>soas de </DIV>
><DIV>> essencializar</DIV>
><DIV>> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao mu=
>itas !</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o=
> "e" as </DIV>
><DIV>> demais hipoteses.</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado =
>esquerdo do </DIV>
><DIV>> cerebro o numero e=3D2,71... Com o lado direito estude as seque=
>ncias da forma </DIV>
><DIV>> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a u=
>m "raio de </DIV>
><DIV>> convergencia".</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> E com os melhores votos</DIV>
><DIV>> de paz profunda, sou</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> Paulo Santa Rita</DIV>
><DIV>> 3,2154,170505</DIV>
><DIV>> </DIV>
><DIV>> >From: "claudio.buffara" <CLAUDIO.BUFFARA@TERRA.COM.BR></DIV=
>>
><DIV>> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br</DIV>
><DIV>> >To: "obm-l" <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR></DIV>
><DIV>> >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.</DIV=
>>
><DIV>> >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> > > Ola Pessoal desta</DIV>
><DIV>> > > lista ... OBM-L,</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui ne=
>sta lista - se nao </DIV>
><DIV>> >me</DIV>
><DIV>> > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em=
> uma forma menos </DIV>
><DIV>> >geral.</DIV>
><DIV>> > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irr=
>acional algebrico.</DIV>
><DIV>> > > Definimos a sequencia :</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > > A(1) =3D T</DIV>
><DIV>> > > A(N+1) =3D T^A(N)</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > > Se LIM A(N)=3Dr, r racional, Considere a afirmacao : =
>"Existe N, N</DIV>
><DIV>> > > suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Vo=
>ce consegue provar </DIV>
><DIV>> >ou</DIV>
><DIV>> > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel apli=
>car, DIRETAMENTE, o</DIV>
><DIV>> > > teorema de Gelfond.</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > > Um Abraco a Todos</DIV>
><DIV>> > > Paulo Santa Rita</DIV>
><DIV>> > > 3,1242,170505</DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> > ></DIV>
><DIV>> >Oi, Paulo:</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> >Se lim A(n) existe e =E9 igual ao racional r, ent=E3o lim A=
>(n+1) =3D r.</DIV>
><DIV>> >Portanto, teremos: r =3D t^r =3D=3D></DIV>
><DIV>> >t =3D r^(1/r) =3D alg=E9brico =3D=3D></DIV>
><DIV>> >contradi=E7=E3o, pois estamos supondo que t =E9 transcenden=
>te.</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> >Logo, ou lim A(n) n=E3o existe ou existe mas =E9 irracional=
>.</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> >Assim, a senten=E7a:</DIV>
><DIV>> >lim A(n) =E9 racional =3D=3D> A(N) =E9 alg=E9brico para =
>algum N suficientemente </DIV>
><DIV>> >grande</DIV>
><DIV>> >=E9 verdadeira, j=E1 que a sua premissa =E9 falsa.</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> >Era isso o que voc=EA tinha em mente?</DIV>
><DIV>> ></DIV>
><DIV>> >[]s,</DIV>
><DIV>> >Claudio.</DIV>
><DIV>> </DIV>
>
>--_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696--
>
>=========================================================================
>Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================