[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
Humm, creio que já achei. Parece que isso não apenas
existe como é matéria comum de análise numérica. Pelo
que vi se chama método do ponto fixo...
--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
>
> Alguém da lista gosta de cálculo numérico? Este
> problema do Cláudio e uma mensagem anterior do
> Filipe
> Junqueira, que se relacionava a equação cos(x) = x,
> parecem sugerir um algoritmo para solução numérica
> de
> alguns tipos muito particulares de equações.
>
> Recapitulando, o caso são sequências na forma:
> x[1] = k e x[n+1] = f(x[n])
>
> Em geral, sse a sequência convergir, isto vai
> ocorrer
> com x[n] tendendo a um valor tal que f(x[n]) = x[n].
>
> Claro que o problema todo é determinar em que
> condições a sequência vai convergir, o que em geral
> é
> complicado.
>
> Um raciocínio (bastante) simplificado me parece o
> seguinte:
>
> Seja uma equação do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz
> Xr.
>
> Seja uma sequência tal que x[1] = k; x[n+1] =
> f(x[n])
> O valor inicial da sequência(estimativa inicial para
> Xr) é arbitrário, de forma que k = Xr + A, onde A é
> o
> erro na estimativa inicial.
>
> Assim:
> x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B;
> x[3] = f(Xr+B) = Xr + C;
> ...
>
> B é o erro no segundo passo, C no terceiro, etc...
>
> Para simplificar o raciocínio, vamos impor a pesada
> condição de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A],
> |df(x)/dx| < 1, isto é, o módulo da derivada de f(x)
> é
> menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o
> erro na estimativa inicial.
> Acho que esta condição garante a convergência, pois
> neste caso sempre teremos A>B>C....
>
>
> É verdade que as restrições são tão fortes que
> provavelmente isso não conduz a nada útil.
> Mesmo assim eu peguei um compilador C e botei umas
> equações em loop para gerar sequências nesta forma.
> Funcionou em alguns casos.
>
> claro, só para equações convenientemente escolhidas,
>
> em intervalos onde |df(x)/dx| < 1. Por exemplo:
>
> cos(sin(sin(cos((x^2)/10)))) -x^3 +.4*x^2 +.1*x = x;
> k = x[1] = 1/2; x[100] = 0.67622814889611
>
>
> sin(sin(cos(log((x^2)/10)))) +.5*x^3 -.1*cos(x^2) =
> x;
> k = x[1] = 1/2; x[100] = -1.25555334286300
>
>
> De fato parece algo tão restrito que dificilmente
> seria útil, talvez como curiosidade. Alguém que
> conheça cálculo numérico sabe se alguma variação
> deste
> tipo de algoritmo é usada em sol. numéricas?
>
>
> []´s
>
> Demétrio
>
>
> --- Demetrio Freitas
> <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
>
> >
> > Deixa eu ver se não me atrapalho...
> >
> > Se a(n) converge, significa que, para um n
> > suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k.
> > Isto é: x^a(n)=a(n) => x^k=k
> >
> > Assim:
> > x^k = k
> > k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k
> >
> > Sabemos que para um x muito grande a sequência
> > diverge, então a pergunta é: qual é o maior x
> > possível?
> > Pelo raciocínio anterior sabemos que x deve
> obedecer
> > a
> > relação ln(x) = ln(k)/k, onde k é o valor para
> onde
> > a
> > sequencia converge. Podemos usar esta expressão
> para
> > procurar o valor máximo de x porque a função ln(x)
> é
> > monótona e crescente para qq x positivo. Em outras
> > palavras: o valor máximo de ln(x) corresponde
> também
> > ao valor máximo de x.
> >
> > Assim:
> > y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o máximo de y(k) =
> > ln(k)/k :
> >
> > dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 => 1/x^2 -
> ln(x)/x^2
> > =>
> > ln(k) = 1 => k = e
> >
> > Para determinar x, temos:
> > y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e
> > ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e)
> >
> > Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge,
> > neste
> > caso, para k=e.
> >
> > Será que é isso?
> >
> > []´s
> >
> > Demétrio
> >
> > --- "claudio.buffara"
> <claudio.buffara@terra.com.br>
> > escreveu:
> > > Esse também é um belo problema:
> > >
> > > Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n),
> para
> > n
> > > >= 1, então a sequência ((a(n)) converge se e
> > > somente se x <= e^(1/e).
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
> > >
> > > De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > >
> > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > >
> > > Cópia:
> > >
> > > Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
> > >
> > > Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma
> > > definitiva.
> > >
> > > > Oi Claudio e demais colegas
> > > > desta lista ... OBM-L,
> > > >
> > > > Resposta correta.
> > > >
> > > > Em linhas gerais, a historia do problema e a
> > > seguinte : alguem resolveu um
> > > > problema mostrando que haviam duas respostas
> > > possiveis, uma das quais
> > > > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou
> > querendo
> > > saber a opcao correta. Eu
> > > > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a
> > > resposta correta :
> > > >
> > > > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente =>
> e
> > > irracional
> > > >
> > > > E entao resolvi construir explicitamente uma
> > > sequencia de numeros
> > > > transcendentes que tinha como limite um numero
> > > natural. Aqui entrou o GUGU,
> > > > reclamando que mesmo nao sabendo provar a
> > > transcendencia, nao haviam
> > > > hipoteses suficientes para postular tal
> > > transcendencia. A reclamacao dele,
> > > > correta e justificavel, era implicitamente a
> > > proposicao de um problema :
> > > > este problema abaixo, onde voce ensaia uma
> > solucao
> > > ...
> > > >
> > > > Voce faz a observacao basica e fundamental :
> > > fixando a "base", o restante (
> > > > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai,
> na
> > > sua linguagem, r=t^r. Daqui
> > > > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz
> uma
>
=== message truncated ===
____________________________________________________Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================