[obm-l] a(n+1) = x^a(n)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

OI, Demetrio:

Segue abaixo uma solucao detalhada para o problema de se determinar os
valores de x tais que a sequencia (a(n)) dada por a(1) = x e a(n+1) = x^a(n)
converge. O caso 0 < x < 1 foi feito pelo Marcio Cohen.

Repare que o meu enunciado na minha mensagem anterior estava errado: de
fato, a sequencia converge apenas com x em [e^(-e),e^(1/e)].

Talvez seja interessante ver o que acontece quando 0 < x < e^(-e). Nesse
caso, a sequencia eh limitada (0 < a_n < 1, para todo n) e, portanto, possui
alguma subsequencia convergente. Assim, dado x, quais os valores de
aderencia de a_n?

[]s,
Claudio.

***

Se x = 1 entao a_n eh obviamente constante e igual a 1.

Assim, suponhamos que x > 1:
1) (a_n) é crescente.
Dem:
a_1 = x > 1
a_2 = x^x > x^1 = x = a_1
Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1).
Teremos, então que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > x^a_(n-1) = a_n.
Logo, por indução, o resultado está provado.

2) Se 1 < x <= e^(1/e), então, para todo n,  a_n <= e.
Dem:
a_1 = x <= e^(1/e) < e
a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e
Suponhamos que a_n <= e.
Então, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = e^1 = e.
Logo, por indução, o resultado está provado.

Assim, se 1 < x <= e^(1/e), então a_n é crescente e limitada. Logo,
converge.

Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = e.

3) Se x > e^(1/e), então (a_n) é crescente e ilimitada.
Dem:
Já provamos acima que (a_n) é crescente.
Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n,  a_n < K.
Nesse caso, deverá existir L = lim a_n.
Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
ln(L) > L/e ==>
contradição, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==>
não existe lim a_n ==>
como (a_n) é crescente, não pode ser limitada.

***

Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a funcao h(y)=a^y eh
decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1.
  Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2  (agora usando a = x^x).
  Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3.
  Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a funcao h(y) = x^(x^y) eh
crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em geral:
  a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2
    A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de aderencia, que
vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses valores forem iguais.
Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem: a_n+2 = x^(x^a_n). Os
valores de aderencia satisfazem portanto Ai = x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2
= x^(A1).
Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y.
Essa equacao sempre tem ao menos uma  raiz (que vou chamar de L'), que eh a
raiz de  g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1, x^y eh decrescente e y
eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando os valores em y=0 e y=1
garantimos que essa raiz de fato existe). Note que a_n, caso seja
convergente, vai para L'.
h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1
h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx )
Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o ultimo parentesis acima pode
se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em (0,1) (pelo tvi, 4 raizes
de h implicam ao menos 3 de h', ..)
   1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve que h tem tres raizes
L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0, h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0
e h(1)=x^(x) - x < 0).
   Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou ela comeca de a_1 = x <=
L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada por L1 (inducao) nao
podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x, como h(0)>0 e
h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em (0,x), e portanto L'< x,
de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a subseq. impar eh
crescente).
   2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, é impossível haver 3 raízes L1 < L' <
L2 (pois isso traria ao menos 2 raízes em (0,L') (ja que h(0)*h(L'- eps)>0)
e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3 raizes.  Portanto, nesse caso
a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao teria como solucao pelo
menos os dois valores de aderencia distintos A1 < A2, alem do ponto fixo L',
sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 = x^(A1)=x^(L')=L'=A1).
   Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 * (lnx)^2 <= 1 sse (ln
L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois claramente L'<1<e).
Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh crescente para y<e
(f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >= (1/e)^e = e^(-e).



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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