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Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.



 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 17 May 2005 15:47:30 +0000
Assunto: [obm-l] Trancendentes - forma definitiva.
> Ola Pessoal desta
> lista ... OBM-L,
>
> Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se nao me
> falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma menos geral.
> Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
>
> Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebrico.
> Definimos a sequencia :
>
> A(1) = T
> A(N+1) = T^A(N)
>
> Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N
> suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue provar ou
> refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMENTE, o
> teorema de Gelfond.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 3,1242,170505
>
>
Oi, Paulo:
 
Se lim A(n) existe e é igual ao racional r, então lim A(n+1) = r.
Portanto, teremos: r = t^r ==>
t = r^(1/r) = algébrico ==>
contradição, pois estamos supondo que t é transcendente.
 
Logo, ou lim A(n) não existe ou existe mas é irracional.
 
Assim, a sentença:
lim A(n) é racional ==> A(N) é algébrico para algum N suficientemente grande
é verdadeira, já que a sua premissa é falsa.
 
Era isso o que você tinha em mente?
 
[]s,
Claudio.