[obm-l] Re:[obm-l] Z-módulo finito.

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Suponha que |M| seja divisível por p*q, onde p e q são primos distintos.

 

Aplicando o teorema de Cauchy ao grupo abeliano (M,+) deduzimos que existem dois subgrupos de (M,+) (portanto, dois submódulos de M) A e B tais que |A| = p e |B| = q.

 

Como p e q são primos entre si, temos que A inter B = {0}, pois se x pertence a A inter B, então o(x) | p e o(x) | q ==> o(x) | mdc(p,q) = 1 ==>

o(x) = 1 ==> x = 0.

 

Mas nesse caso, A e B não são comparáveis por inclusão ==>

contradição ==>

|M| não pode ser divisível por dois primos distintos ==>

|M| = p^n para algum primo p e algum inteiro não-negativo n.

 

Será que é isso?

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Mon, 28 Mar 2005 16:04:31 -0300 (ART)

Assunto:

[obm-l] Z-módulo finito.

> Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:

>  

> Seja M um Z-módulo finito tal que o conjunto dos seus submódulos é totalmente ordenado por inclusão. Prove que existe um número primo p tal que o número de elementos de M é uma potência de p. (Z é o anel do inteiros!!!)

>  

> Obs.: Estava tentando resolvê-lo com o auxílio do Teorema de Sylow. Não sei se estava no caminho certo, mas nao "saiu" nada!!!

>  

> Grato desde já, Éder.

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