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RES: [obm-l] derivada



 Sr (x1,y1) petencer aa curva, a  afirmacao eh trivialmente verificada. Suponhamos entao que nao seja este o caso. Seja (x,y), y = f(x),  um ponto qualquer da referida curva. Se d eh a distancia de (x1, y1) aa curva, entao d^2 = (x-x1)^2+ (y- y1)^2 eh uma funcao diferenciavel com relacao a x em todo o R, pois, por hipotese,  f eh diferenciavel. Eh imediato que d^2 eh limitada inferiormente por 0.  Além disto, d^2 -> oo quando x- > oo ou x-> -oo. Logo, a  continuidade de  d^2 implica  que d^2 apresente um mínimo global em R, e sua diferenciabilidade implica que, neste ponto,  (d^2)' se anule. Aqui,  '  significa a derivada com relação a x.
Minimizar d eh  o mesmo que minimizar d^2. Temos que (d^2)' = 2*(x-x1) + 2(y -y1)*y'.  Se d^2 eh minima em x*, entao neste ponto temos que (d^2)' = 0, o que nos leva a que y' = - (x*-x1)/(y*-y1),  y* = f(x*) e supondo-se x*<>x1 e y*<>y1. . 
A reta que passa pelos pontos (x1,y1) e (x*,y*) tem coeficiente angular m = (y* - y1)/(x*-x1), de modo que m = - 1/y'. Dado que y' eh o coeficiente angular da tangente  aa curva em (x*, y*) sabemos da geometria analitica que a reta unindo (x1,y1) eh (x*, y*) eh  normal aa curva y = f(x). 
Se tivermos x* = x1, entao a tangente aa curva em (x*, y*) eh horizontal e a afirmacao eh imediatamente verificada. Se y* = y1, entao a tangente aa curva em (x*, y*) eh vertical, de moso que aa afirmacao eh imediatamente verficada. A condicao x1=x* e y1=y* nao pode ocorrer, pois (x*, y*) pertence aa curva y = f(x) e (x1, y1 na pertence.
Artur 
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Vinícius Meireles Aleixo
Enviada em: Sunday, February 13, 2005 3:09 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] derivada

Olá,
 
Prove que a mais curta distancia de um ponto (X_1, Y_1) ao gráfico de uma função diferenciável "f" é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma perpendicular à tangente.(X_1dif. de Y_1 e o dom. é R->R)
 
Abraços
 
Vinícius Meireles Aleixo