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RE: [obm-l] inteiros
Hum... Vamos de um jeito mais bonito então....
Chamando Mod(k^5,10) = M (M é o resto da divisão de k^5 por M)
Quando k = 0, M=0
Sabemos também que:
(K+1)^5 = K^5 + 5*k^4 + 10*K^3 + 10*K^2 + 5*K + 1
(K+1)^5 = K^5 + 5*k*(k^3+1) + 10*K^2(K+1) + 1
Observem que o termo 5*k*(k^3+1) será sempre múltiplo de 10 para k inteiro.
(Se k é impar, k^3+1 é par)
Tirando o módulo da divisão por 10 de tudo isso, temos:
mod((k+1)^5) = mod(k^5) + 1
e como mod(0) = 0....
-----Original Message-----
From: Fernando Aires [mailto:fernandoaires@gmail.com]
Sent: Tuesday, September 21, 2004 5:59 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] inteiros
Hermann,
Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).
Para o número x=ABC...N0:
ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N1:
ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N2:
ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N3:
ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N4:
ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N5:
ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N6:
ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N7:
ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N8:
ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5)
Para o número x=ABC...N9:
ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5)
(C.Q.D.)
Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
(Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)
Beijos,
--
-><-
Fernando Aires
fernandoaires@gmail.com
"Em tudo Amar e Servir"
-><-
On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
<ilhadepaqueta@bol.com.br> wrote:
> Por favor...
> Como demonstro o seguinte:
>
> Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.
>
> TEntei fazer por indução empaquei.
> Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
>
> espero que alguém da lista saiba
> Obrigado,
> Hermann
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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