[obm-l] novamente k^5 com resposta

["Tio Cabri st" <ilhadepaqueta@xxxxxxxxxx>]

Fuçando a lista descobri que já tinham postado este exercício
e havia uma resposta
GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM SABE FAZER POR INDUÇÃO?
Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).


Vejam a solução do Ricardo usando congruência
em dez de 2003
escrito pelo colaborador da lista
Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br>


Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
souber, então fica bem mais fácil!

k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:

k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)

A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,
então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.

Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:

k^(5-1)=1 (mod 5)
k^4=1 (mod 5) e portanto:
k^5=k (mod 5)

Abraços Hermann

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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