|
============================================================================================================
Mensagem anterior enviada por mim a lista
OBM:
Pessoal como eu posso provar usando a definição de
limite que :
lim ( 4x^2 - 13x + 10 ) / ( x-2 ) = 7 quando
x-> 3.
Definição de limite: Seja f uma função definida
sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no
próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a ´a´ é L, e
escrevemos:
lim f(x) = L quando x->a se para todo epsilon
> 0 há um número correspondente delta > 0 tal que
0 < | x -a | < delta ---> | f(x) - L |
< epsilon. ============================================================================================================
Niski, muito obrigado pela sua resposta, entretanto
eu discordo em um ponto dela.
Por definição a função f tem que ser definida
para todo número pertencente ao intervalo no qual o número "a" está contido,
porém excetua-se a obrigatoriedade de f ser definida no ponto "a". Bem...
no limite dado o ponto "a" é o número 3, assim só é permitido f não ser definida
nesse ponto. Entretanto em outro ponto diferente desse intervalo f tem
que ser definida. Logo como você não definiu o intervalo imposto pela definição
fica implícito que está considerando qualquer intervalo, isto é, para qualquer
intervalo dado, no qual 3 esteja contido, f é definida para todos pontos dele,
exceto possivelmente no ponto "a", nesta discussão a = 3, assim quando
você divide ( x - 2 ) por ( x -2 ) está dividindo por zero já que o número 2
pertence a pelo menos a um intervalo. Daí temos, como a divisão
( 0 / 0 ) não é definida assim fica a exigência de impor um
intervalo qualquer e que o número 2 não esteja contido nele.
Eu fiz assim , porém pode ter erros e, se
tiver aponte-os.
lim ( 4x^2 - 13x + 10 ) / ( x-2 ) = 7 quando x
---> 3.
Seja o intervalo aberto ( 2 , 4 ), no qual f é
definida para todo ponto pertencente ao intervalo, exceto possivelmente no ponto
x = 3 ( observe que em x = 3 ela é definida mas isso estar fora de cogitação
), assim:
se lim ( 4x^2 - 13x + 10 ) / ( x-2 ) = 7
quando x ---> 3 então para qualquer eps > 0 existe um delta > 0 tal que
:
0 < | x-3 | < delta => | [( 4x^2 - 13x + 10 ) / ( x-2 )] - 7
| < eps
0 < | x-3 | < delta => | [ (x-2)(4x - 5) / (x-2) ] - 7 ] | <
eps
como 2 não pertence ao intervalo dado temos a
divisão ( x - 2 ) / ( x - 2 ) definida, assim :
0 < | x-3 | < delta => | (4x - 5) -7 | < eps
0 < | x-3 | < delta => 4 | x-3 | < eps
0 < | x-3 | < delta => | x-3 | < ( eps / 4 )
logo delta = eps/4
prova que o delta escolhido é
adequado:
0 < | x-3 | < delta => | x-3 | <
delta => | x-3 | < ( eps / 4 )
assim fazendo as manipulações retroativas temos:
0 < | x-3 | < delta => | [( 4x^2 -
13x + 10 ) / ( x-2 )] - 7 | < eps .
Comentários: Eu acho que a minha demonstração peca
no fato de que no momento que foi imposto o intervalo ( 2, 4 ), o eps não poderá
assumir qualquer valor pois, se assim fosse correria o risco de delta permitir
escolher ponto externo ao intervalo ou até inclusive o ponto 2,
pois:
0 < | x-3 | < delta => -delta <
x- 3 < delta => 3 - delta < x < 3 + delta e delta = eps /4.
Por exemplo eps = 8, temos delta = 2, daí 1
< x < 5 e assim 2 pertence ao intervalo e minha demonstração
torna-se inválida.
Bem... será que eu estou errando em alguma coisa ou
esta preocupação é desnecessária ?
|