Re: [obm-l] Convexidade - Ajuda

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Wellington,

 

não sei se estou equivocado, mas acho que essa sua pergunta decorre do fato de que o fecho de qualquer subconjunto de um espaço métrico M (em particular de um espaço vetorial normado) é um conjunto fechado. Em particular para um conjunto convexo.

 

Éder.

Wellington <listadematematica@yahoo.com.br> wrote:

> Preciso provar que o fecho de um conjunto convexo é convexo.
>
> Pensei o seguinte:
> Todos os pontos pertencentes a um conjunto convexo A são pontos de
> aderência desse conjunto, pois, pela definição de convexidade, dados c e
> d pertencentes a A, cada t (em tc + (t - 1)d, t entre 0 e 1) define um
> ponto em A e pra qualquer t (tão pequeno quanto se queira) haverá outro
> ainda menor, gerando um ponto ainda mais próximo de c. Logo, haverá uma
> seqüência cujo limite é c; portanto, c é um ponto de aderência.
>
> Se o conjunto A for fechado, a prova está concluída pois o fecho de A
> será o próprio A. Caso contrário, acho que (i) deve-se mostrar que o
> fecho de A inclui pontos externos a A. 
>
> Está certo até aqui? Como eu faço pra terminar?
>
> Acho que provado (i) a demonstração está completa visto que, tomados
> dois pontos aderentes e externos a A (o caso de
>  pontos aderentes
> internos já foi provado) qualquer ponto entre eles também será aderente.
>
> Aguardo ajuda.
>
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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