[obm-l] Subsequencia de sen(n)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Preciso de ajuda com o seguinte problema:
 
Definimos uma sequencia (p_n,q_n) de pares ordenados de inteiros positivos
da seguinte forma:

p_1 = 3, q_1 = 1;

Para n >= 2:
q_n = menor inteiro > q_(n-1), para o qual existe algum inteiro k que
satisfaca 0 < |q_n*Pi - k| < 1/q_n;
p_n = k.

Como Pi eh irracional, a sequencia (q_n) eh infinita.
Tomando n = 1, 2, 3, ..., a sequencia dos p_n vai se aproximar cada vez mais
dos correspondentes Pi*q_n. Para essa sequencia, vale sen(p_n) -> 0.
 
Alem disso: 
1) a sequencia (p_n) estah unicamente determinada, ou seja, para
cada q_n, existe exatamente um p_n que satisfaz as desigualdades acima
e
2) dada a forma (exaustiva) como os q_n foram definidos, qualquer
subsequencia de sen(n) que converge para 0 vai ter que ser, a partir de
algum ponto, uma subsequencia de sen(p_n).

Minha duvida eh justamente sobre a veracidade da afirmacao (2) acima.

Qualquer comentario serah bem vindo.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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