RE: [obm-l] Não conseguir

["Rogério Carvalho" <rogeriom@xxxxxxx>]

2) Se R[n]= (1/2)(a^n + b^n) onde a = 3+sqr(2), b = 3–sqr(2) e n =
0,1,2,3,4........ então R[12345] é um inteiro. Seu algarismo das unidades é:

 

A) 1               B) 3       C) 5            D) 7          E) 9

RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
 

Se S e P representam a soma e o produto de a e b, respectivamente, teremos:

S = a + b = 3 + 2sqr(2) + 3 - 2sqr(2) = 6 (i)

P = ab = (3 + 2sqr(2))(3 - 2sqr(2)) = 9 - 8 = 1 (ii)

 

Os termos da seqüência R[n] são definidos por uma fórmula em função da
posição n:

R[n] = (a^n + b^n)/2, com n pertencente a {0, 1, 2, 3, ...} (iii)

 

A fim de encontrar uma fórmula de recorrência para a seqüência, vamos
multiplicar ambos os membros da igualdade (iii) por S:

S.R[n] = S.(a^n + b^n)/2

S.R[n] = (a + b)(a^n + b^n)/2

S.R[n] = [a^(n + 1) + a.b^n + a^n.b + b^(n + 1)]/2

S.R[n] = [a^(n + 1) + b^(n + 1)]/2 + ab[a^(n - 1) + b^(n - 1)]/2

Pelas igualdades (ii) e (iii), obtemos:

S.R[n] = R[n + 1] + P.R[n - 1]

R[n + 1] = S.R[n] - P.R[n - 1], com n pertencente a {1, 2, 3, ...} (iv)

 

No caso particular desta seqüência, temos S = 6 (i) e P = 1 (ii), logo:

R[n + 1] = 6.R[n] - R[n - 1], com n pertencente a {1, 2, 3, ...} (v)

 

Aplicando a fórmula (iii) para calcular os dois primeiros termos da
seqüência, encontramos:

R[0] = (a^0 + b^0)/2 = (1 + 1)/2 = 1

R[1] = (a^1 + b^1)/2 = 6/2 = 3

 

A partir dos termos R[0] e R[1], nós podemos calcular os outros termos da
seqüência aplicando a fórmula de recorrência (v) obtida sucessivas vezes.
Observe que pela propriedade de fechamento da adição e da multiplicação dos
inteiros, se R[n] e R[n - 1] são inteiros, então R[n + 1] também será
inteiro. Portanto, uma vez que R[0] e R[1] são inteiros, então R[2] também
será inteiro. Como R[1] e R[2] são inteiros, então R[3] também será inteiro
e assim sucessivamente. Ou seja, todos os termos da seqüência R[n] serão
inteiros.

 

Porém, somente nos interessa encontrar uma lei de formação que permita
encontrar o algarismo das unidades de qualquer termo inteiro da seqüência.
Sendo assim, vamos considerar dois termos consecutivos R[m] e R[m + 1] da
seqüência, com m pertencente a {0, 1, 2, 3, ...}, terminados em 1 e 3,
respectivamente. Devemos aplicar a fórmula de recorrência (v) sucessivas
vezes até que os algarismos das unidades de dois termos consecutivos voltem
a ser 1 e 3. Sendo assim, teremos encontrado a periodicidade de repetição do
algarismo das unidades da seqüência. Então, podemos escrever:

R[m] = 10.k1 + 1, com k1 pertencente a Z

R[m + 1] = 10.k2 + 3, com k2 pertencente a Z

Aplicando a fórmula de recorrência (v) sucessivas vezes, teremos:

R[m + 2] = 6.R[m + 1] - R[m] = 6(10.k2 + 3) - (10.k1 + 1) = 60.k2 + 18 -
10.k1 - 1 = 10(6.k2 - k1 + 1) + 7 = 10.k3 + 7, com k3 pertencente a Z (k3 =
6.k2 - k1 + 1)

R[m + 3] = 6.R[m + 2] - R[m + 1] = 6(10.k3 + 7) - (10.k2 + 3) = 60.k3 + 42 -
10.k2 - 3 = 10(6.k3 - k2 + 3) + 9 = 10.k4 + 9, com k4 pertencente a Z (k4 =
6.k3 - k2 + 3)

R[m + 4] = 6.R[m + 3] - R[m + 2] = 6(10.k4 + 9) - (10.k3 + 7) = 60.k4 + 54 -
10.k3 - 7 = 10(6.k4 - k3 + 4) + 7 = 10.k5 + 7, com k5 pertencente a Z (k5 =
6.k4 - k3 + 4)

R[m + 5] = 6.R[m + 4] - R[m + 3] = 6(10.k5 + 7) - (10.k4 + 9) = 60.k5 + 42 -
10.k4 - 9 = 10(6.k5 - k4 + 3) + 3 = 10.k6 + 3, com k6 pertencente a Z (k6 =
6.k5 - k4 + 3)

R[m + 6] = 6.R[m + 5] - R[m + 4] = 6(10.k6 + 3) - (10.k5 + 7) = 60.k6 + 18 -
10.k5 - 7 = 10(6.k6 - k5 + 1) + 1 = 10.k7 + 1, com k7 pertencente a Z (k7 =
6.k6 - k5 + 1)

R[m + 7] = 6.R[m + 6] - R[m + 5] = 6(10.k7 + 1) - (10.k6 + 3) = 60.k7 + 6 -
10.k6 - 3 = 10(6.k7 - k6) + 3 = 10.k8 + 3, com k8 pertencente a Z (k8 =6.k7
- k6)

 

Observe que R[m + 6] = 10.k7 + 1 e R[m + 7] = 10.k8 + 3. Ou seja, R[m + 6] e
R[m + 7] têm os mesmos algarismos das unidades de R[m] e R[m + 1],
respectivamente. Ou seja, o processo é periódico, sendo que o algarismo das
unidades se repete de 6 em 6 termos. Portanto, para todo t pertencente a {0,
1, 2, 3, ...}

R[6t] tem algarismo das unidades igual a 1 (vi)

R[6t + 1] tem algarismo das unidades igual a 3 (vii)

R[6t + 2] tem algarismo das unidades igual a 7 (viii)

R[6t + 3] tem algarismo das unidades igual a 9 (ix)

R[6t + 4] tem algarismo das unidades igual a 7 (x)

R[6t + 5] tem algarismo das unidades igual a 3 (xi)

 

Para o caso particular de R[12345], vamos calcular o resto da divisão
euclidiana de 12345 por 6:

12345 = 6.2057 + 3

Corresponde ao caso (ix): R[6.2057 + 3] tem algarismo das unidades igual a
9.

 

RESPOSTA: Alternativa E


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