RE: [obm-l] Logarítimos

["Rogério Carvalho" <rogeriom@xxxxxxx>]

NOTAÇÕES UTILIZADAS:

log_a(x): representa logaritmo de x na base a

raiz_n(x): raiz de índice n do número x (n inteiro positivo)

 

b)     [ X^logy +Y^logx=200
        [sqrt( Logx x Logy)^y= 1024

OBSERVAÇÃO:

A segunda equação foi transcrita de modo errado. O correto é:

raiz_x{[log(x).log(y)]^y} = 1024

 

RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

 

x^log(y) + y^log(x) = 200 (i)

raiz_x{[log(x).log(y)]^y} = 1024 (ii)

 

Condição de Existência:

x > 0 e y > 0 e x deve ser inteiro, pois representa um índice de raiz (iii)

 

Como conseqüência direta da definição podemos concluir que a^[log_a(x)] = x
(a > 0 e a != 1 e x > 0), logo:

x = 10^log(x) e y = 10^log(y), com x > 0 e y > 0. Substituindo estas
igualdades na equação (i):

[10^log(x)]^log(y) + [10^log(y)]^log(x) = 200

10^[log(x).log(y)] + 10^[log(y).log(x)] = 200

2.10^[log(x).log(y)] = 200

10^[log(x).log(y)] = 10^2

log(x).log(y) = 2 (iv)

 

Substituindo (iv) na (ii) :

raiz_x(2^y) = 1024

(2^y)^(1/x) = 1024

2^(y/x) = 2^10

y/x = 10

y = 10x (v)

 

Substituindo a (v) na (iv):

log(x).log(10x) = 2

log(x).[log(10) + log(x)] = 2

[log(x)]^2 + log(x) - 2 = 0

log(x) = -2 <=> x = 10^(-2) <=> x = 1/100 (não satisfaz a condição (iii))

ou

log(x) = 1 <=> x = 10 (vi)

 

Para x = 10 (vi), teremos:

(v) y = 10.10 <=> y = 100

 

A solução acima satisfaz a condição de existência (iii), logo:

 

S = {(10, 100)}

 

 

c)      {X^logy+y^logx
         {logsqrt(xy)=1

OBSERVAÇÃO:

A primeira equação foi transcrita apenas parcialmente. O correto é:

x^log(y) + y^log(x) = 20

 

RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

x^log(y) + y^log(x) = 20 (i)

log[sqr(xy)] = 1 (ii)

 

Condição de Existência:

x > 0 e y > 0 (iii)

 

Como conseqüência direta da definição podemos concluir que a^[log_a(x)] = x
(a > 0 e a != 1 e x > 0), logo:

x = 10^log(x) e y = 10^log(y), com x > 0 e y > 0. Substituindo estas
igualdades na equação (i):

[10^log(x)]^log(y) + [10^log(y)]^log(x) = 20

10^[log(x).log(y)] + 10^[log(y).log(x)] = 20

2.10^[log(x).log(y)] = 20

10^[log(x).log(y)] = 10^1

log(x).log(y) = 1 (iv)

 

Desenvolvendo a equação (ii), encontramos :

log[sqr(xy)] = 1 (ii)

(1/2)[log(xy)] = 1

log(x) + log(y) = 2 (v)

 

Por (iv) e (v), concluímos que log(x) e log(y) são raízes da equação em w:

w^2 - 2w + 1 = 0

(w - 1)^2 = 0

Duas raízes reais iguais: w_1 = 1 e w_2 = 1.

 

Logo, teremos:

log(x) = 1 <=> x = 10

log(y) = 1 <=> y = 10

 

A solução acima satisfaz a condição de existência (iii), logo:

 

S = {(10, 10)}

 

 

Atenciosamente,

 

Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da
Informação
rogeriom@gmx.net


--------------------------------------------------------------------------------

From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of SiarJoes@aol.com
Sent: segunda-feira, 14 de junho de 2004 00:59
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Logarítimos

 

Alguém poderia resolve-las para mim por favor?
grato desde já( Fundamentos da matemática Elementar 2, 8ª edição Pag 108
exercício 320 b  e c)

dois sisteminhas

b)     [ X^logy +Y^logx=200
        [sqrt( Logx x Logy)^y= 1024



c)      {X^logy+y^logx
         {logsqrt(xy)=1



eu sei que fica mei difícil  compreender, é porque  o meu teclado tem poucos
sinais, eu disse a fonte da onde os tirei, mas qualquer dúvida que possa
surgir devido ao mau enunciado podem dizer que eu tento tirar. Abraços
Junior

Ps:(RESPOSTAS!!)

b) s={10,100}
c) s={10,10} 

-- 
"Sie haben neue Mails!" - Die GMX Toolbar informiert Sie beim Surfen!
Jetzt aktivieren unter http://www.gmx.net/info

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================