Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

Oi, Danilo:

Acho que dah ateh pra interpolar um polinomio de grau 3.

Fazendo a mudanca de variaveis t = (x - b)/(c - b), as funcoes envolvidas continuam a ser de classe C^1. Assim, podemos supor s.p.d.g. que [b,c] = [0,1]. Alem disso, tambem podemos supor que F(0) = 0 (simplesmente adicionamos uma constante a F).

Qual o caso limite para os valores de F'(0) e F'(1)? Ambas tem de ser positivas, certo? Assim, se conseguirmos interpolar um polinomio de grau 3 dentro das condicoes do enunciado no caso em que F'(0) = F'(1) = 0, o caso em que essas derivadas sao positivas sai ainda mais facilmente.

Suponhamos tambem que F(1) = A > 0.

Seja P(t) = mt^3 + nt^2 + pt + q.
Devemos ter: P(0) = P'(0) = P'(1) = 0  e  P(1) = A.

Essas 4 condicoes implicam que P(t) = -2At^3 + 3At^2.

Assim, P'(t) = -6At^2 + 6At = 6At*(1 - t) > 0 para todo t em (0,1).

[]s,
Claudio.
> on 04.06.04 16:45, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:
>
> > Chame essa variável livre do sistema de m. Os coeficientes do polinômio p´(x) são funções de m. Suponha por exemplo que  p’(x) = (3-m)x^3 + (2 +m) x^2 + (3 –m)x +7 +m.  Se p´(x) admite um mínimo x1 em  [b , c ]  ( admitindo que x1 é diferente de b e c ) então  devemos ter  p”(x1) = 0 . Calculando o valor de x1 em função de m e substituindo na condição  p’(x1) >0  obtemos uma inequação polinomial de grau 7 cuja solução só é  possível por métodos numéricos . Alem disso essa inequação pode não ter solução! para x em [b , c]. 
> >
> >  
> >
> >      Abs.
> >
> > Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote: 
> > > Recapitulando:
> > > O problema eh estender F, de classe C^1 em [a,b] uniao [c,d] (a < b < c < d) a uma funcao G, de classe C^1 em [a,d] tal que G'(x) > 0 para todo x em [a,b].
> > >
> > > Isso soh serah possivel se F(b) < F(c) e se F'(x) > 0 em [a,b] uniao [c,d]. 
> > > Em particular, precisamos ter F'(b) > 0 e F'(c) > 0.
> > >
> > > A fim de completar uma extensao de classe C^1 de F em [a,d] uma funcao P:[b,c] -> R precisa satisfazer as condicoes:
> > > 1) P(b) = F(b)  e  P(c) = F(c) > F(b)
> > > 2) P'(b) = F'(b) > 0  e  P'(c) = F'(c) > 0.
> > > 3) P'(x1) > 0 se x1 for ponto de minimo de P'(x)
> > >
> > > Se P(x) = mx^4 + nx^3 + px^2 + qx + r, entao, a fim de satisfazer (1) e (2), devemos escolher m, n, p, q, r de modo a satisfazer o sistema:
> > > b^4*m +  b^3*n   + b^2*p + b*q + r = F(b)
> > > c^4*m  +  c^3*n   + c^2*p + c*q  + r  = F(c)
> > > 4b^3*m + 3b^2*n  +   2b*p  +    q        = F'(b)
> > > 4c^3*m + 3c^2*n   +   2c*p  +    q        = F'(c)
> > >
> > > Esse sistema ainda nos deixa uma variavel livre, cujo valor podemos escolher de modo a fazer com que P'(x1) > 0 num eventual ponto de minimo x1 de P'(x) em [b,c].
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.