Claudio , sua ideia funciona muito bem quando aplicamos a um unico intervalo [ b , c ] , mas observe que a função f esta definida em uma sequência infinita de subintervalos da reta. Suponha que a f esteja definida da seguinte forma:
f(x) = x+1 se 0=< x =< 2 , f(x) = x^2 +1 se 3 =< x =< 4 e
f (x)= x+2 se x >= 5. Como ficaria a definição da função G que é extensão da f ? Lembre-se que o dominio da função G que é extensão da f tem que ser o conjunto [ 0 , infinito ) .
Abs.
Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
Oi, Danilo:
Acho que dah ateh pra interpolar um polinomio de grau 3.
Fazendo a mudanca de variaveis t = (x - b)/(c - b), as funcoes envolvidas continuam a ser de classe C^1. Assim, podemos supor s.p.d.g. que [b,c] = [0,1]. Alem disso, tambem podemos supor que F(0) = 0 (simplesmente adicionamos uma constante a F).
Qual o caso limite para os valores de F'(0) e F'(1)? Ambas tem de ser positivas, certo? Assim, se conseguirmos interpolar um polinomio de grau 3 dentro das condicoes do enunciado no caso em que F'(0) = F'(1) = 0, o caso em que essas derivadas sao positivas sai ainda mais facilmente.
Suponhamos tambem que F(1) = A > 0.
Seja P(t) = mt^3 + nt^2 + pt + q.
Devemos ter: P(0) = P'(0) = P'(1) = 0 e P(1) = A.
Essas 4 condicoes implicam que P(t) = -2At^3 + 3At^2.
Assim, P'(t) = -6At^2 + 6At = 6At*(1 - t) > 0 para
todo t em (0,1).
[]s,
Claudio.
on 04.06.04 16:45, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:
Chame essa variável livre do sistema de m. Os coeficientes do polinômio p´(x) são funções de m. Suponha por exemplo que p’(x) = (3-m)x^3 + (2 +m) x^2 + (3 –m)x +7 +m. Se p´(x) admite um mínimo x1 em [b , c ] ( admitindo que x1 é diferente de b e c ) então devemos ter p”(x1) = 0 . Calculando o valor de x1 em função de m e substituindo na condição p’(x1) >0 obtemos uma inequação polinomial de grau 7 cuja solução só é possível por métodos numéricos . Alem disso essa inequação pode não ter solução! para x em [b , c].
Abs.
Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
Recapitulando:
O problema eh estender F, de classe C^1 em [a,b] uniao [c,d] (a < b < c < d) a uma funcao G, de classe C^1 em [a,d] tal que G'(x) > 0 para todo x em [a,b].
Isso soh serah possivel se F(b) < F(c) e se F'(x) > 0 em [a,b] uniao [c,d].
Em particular, precisamos ter F'(b) > 0 e F'(c) > 0.
A fim de completar uma extensao de classe C^1 de F em [a,d] uma funcao P:[b,c] -> R precisa satisfazer as condicoes:
1) P(b) = F(b) e P(c) = F(c) > F(b)
2) P'(b) = F'(b) > 0 e P'(c) = F'(c) > 0.
3) P'(x1) > 0 se x1 for ponto de minimo de P'(x)
Se P(x) = mx^4 + nx^3 + px^2 + qx + r, entao, a fim de satisfazer (1) e (2), devemos escolher m, n, p, q, r de modo a satisfazer o sistema:
b^4*m + b^3*n + b^2*p + b*q + r = F(b)
c^4*m + c^3*n + c^2*p + c*q + r = F(c)
4b^3*m + 3b^2*n + 2b*p +
q = F'(b)
4c^3*m + 3c^2*n + 2c*p + q = F'(c)
Esse sistema ainda nos deixa uma variavel livre, cujo valor podemos escolher de modo a fazer com que P'(x1) > 0 num eventual ponto de minimo x1 de P'(x) em [b,c].
[]s,
Claudio.