e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ....
Suponha que e = m/n, com m e n inteiros positivos.
Como e nao eh inteiro, temos que n >= 2.
Entao:
0 < e - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + ... ==>
0 < m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/n!*(1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + ... ).
Reduzindo m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! a um denominador comum, ficamos com:
0 < p/n! < 1/n!*(1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + ... ) onde p eh um inteiro positivo ==>
0 < p < (1/(n+1))/(1 - 1/(n+1)) ==>
0 < p < 1/n < 1 ==>
existe um inteiro entre 0 e 1 ==>
contradicao ==>
e eh irracional.
*****
A afirmacao de que C eh algebricamente fechado eh o teorema fundamental da algebra. Voce encontra demonstracoes razoavelmente inteligiveis no site
"cut-the-knot".
A ideia basica da demonstracao eh que, se p(z) eh um polinomio complexo, entao, para |z| grande, p(z) eh dominado pelo termo de maior grau (digamos z^n) e para |z| muito pequeno, p(z) eh dominado pelo termo independente (digamos a_0), suposto diferente de 0 (se a_0 = 0, entao 0 eh uma raiz de p(z) e acabou...)
Tomando |z| = R grande o suficiente, se fizermos o argumento de z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de p(z) irah ser proximo do lugar geometrico de z^n, o qual percorre n vezes uma circunferencia de raio R^n em torno da origem (o crucial eh R seja grande o suficiente para que a origem fique no interior do l.g. de p(z)).
Tomando |z| = r proximo o suficiente de zero, se fizermos z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de p(z) ficarah limitado ao interior de um circulo de raio muito pequeno em torno de a_0, o qual nao contem a origem (lembre-se de que a_0 <> 0).
Fazendo |z| variar continuamente de R ateh r, o l.g. de p(z) irah se contrair continuamente e, portanto, para um dado valor de |z|, irah passar pela origem. Ou seja, para um dado valor de z com este modulo, p(z) serah igual a zero.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Sun, 30 May 2004 15:46:26 -0300 |
> Pessal, semestre passado meu prof. de calc. II colocou
> na prova um exercicio assim
> "Prove que o número e é irracional"
>
> Eu usei a Form. de Taylor com resto de Lagrange e o
> met. de red ao absurdo, supondo como hip. inicial que e
> fosse racional.
>
> Gostaria de saber uma outra maneira de resolve lo.
>
>
> Alem disso, gostaria de saber se é muito dificil provar
> que o conj. C é algebricamente fechado.
>
>
> Falow pessoal!
>
>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usuário de GNU/Linux
>
>
>
> __________________________________________________________________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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