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RE: [obm-l] Geom. Plana
Osvaldo,
Para chegar a esta conclusão, você vai ter que levar em conta o
seguinte dado do enunciado do problema: "... os pontos de interseção
de seus lados sejam os vértices de um octógono regular.". Sendo assim, você
pode levar em consideração que todos os ângulos internos do octógono regular
são iguais a 135°. Usando esta informação, você pode comprovar as suas
conclusões de várias maneiras. Observe que você não tinha usado esta
informação, portanto você estava resolvendo um problema mais genérico como
se fosse um caso particular.
Obs.: Se estiver com tempo, dê uma analisada na resolução que eu propus. A
resolução parece extensa, mas isto ocorreu devido a eu ter explicado
detalhadamente todos os passos e cálculos. Ao analisar os passos da
resolução, você poderá concluir que a resolução é bem simples.
Abraços,
Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: sábado, 29 de maio de 2004 21:50
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
E ai Rogério!
Poxa, acho que vc esta certo. Será que tem alguma
maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me
mandar. valew!
> Olá Osvaldo,
>
> Observe que você está tirando conclusões
baseadas somente no
> desenho. O enunciado não fornece nenhuma informação
que permita que você
> conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC
são paralelos. Ao afirmar
> que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está
afirmando de maneira
> indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir
do quadrado ABCD por
> uma rotação de 45° em torno do seu centro.
>
> Abraços,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
>
> Okay, concordo!
> Porém, não mencionei na minha solução por ME PARECER
> meio direto, desculpe.
> Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB, concluímos
que
> eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC
é
> comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja 45° ,
dai
> completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja,
> BIX vale 45 tambem.
>
> Falow, até.
>
> > Olá Osvaldo,
> >
> > Não há dados suficientes no enunciado do
> problema que permitam que
> > você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC
e
> IBJ são semelhantes. É
> > fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo
> ABC são os seguintes:
> > <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se
> trata de um triângulo
> > retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°).
> Porém, apesar de podermos
> > concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo
> <IBJ = 90°, não se pode
> > concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°.
> Sendo assim, não é
> > correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC
e
> IBJ pelo critério AA~,
> > a não ser que se prove antes que um dos ângulos
> agudos do triângulo IBJ é
> > igual a 45°. Uma possível demonstração está
colocada
> na solução que eu
> > propus.
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Rogério Moraes de Carvalho
> > -----Original Message-----
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@mat.puc-rio.br] On
> > Behalf Of Osvaldo
> > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58
> > To: obm-l
> > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> >
> > E ai Thór!
> >
> >
> > Creio que uma outra res. possível seja algo como
esta:
> >
> > Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente
> > congruentes.
> > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm
> > perímetro P, assim P=l/4
> >
> > Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do
primeiro
> > quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro
> quadrado
> > de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I
e
> J
> > as intersecções de EF com os lados AB e BC,
> > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
> > intersecção de OB com o lado EF.
> >
> > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são
> > semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB
> > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono
> > regular.
> >
> > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao
> lado
> > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja,
> l.sqrt
> > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> > Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o
> lado
> > do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.
(sqrt
> > (2)-1)=
> > (P/4).(sqrt(2)-1)
> >
> > Falow ai
> >
> >
> >
> >
> > > Olá Thor,
> > >
> > > Segue uma resolução possível para esta questão.
> > >
> > >
> > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> > >
> > > Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos
> > perímetros (P), então eles
> > > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L =
> > P/4). Como o esboço da
> > > figura é muito importante para facilitar a
> > compreensão da resolução, segue a
> > > descrição do mesmo.
> > >
> > > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L =
> > P/4) e centro O. Agora
> > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da
> rotação
> > de um ângulo BETA de
> > > ABCD em torno da sua origem O no sentido horário,
> tal
> > que 0 < BETA < 90°.
> > > Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados
> > como H[1], H[2], H[3],
> > > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de
> > interseção mais próximo de
> > > A no segmento AB.
> > >
> > > Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA')
> de
> > rotação do quadrado
> > > ABCD deve ser igual a 45°.
> > > Para isto, considere P o ponto de interseção do
> > segmento AO com o lado D'A'
> > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do
> > segmento A'O com o lado AB
> > > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o
ângulo
> <PH
> > [1]Q corresponde a um
> > > dos ângulos internos de um octógono regular (dado
> do
> > enunciado), então:
> > > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180°
> =>
> > <PH[1]A = 45°
> > > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma
> > diagonal e um lado do quadrado
> > > ABCD)
> > > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1]
+
> > <PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> > > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> > > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]
Q
> é
> > igual a 360°,
> > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP =
360°
> > => 90° + 135° + 90° +
> > > BETA = 360° => BETA = 45°
> > >
> > > Observe que: AO = AP + PO (i)
> > >
> > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto
> AO
> > = L.sqr(2)/2 (ii)
> > >
> > > AP: metade do lado do octógono regular (X/2),
pois
> na
> > dedução do ângulo de
> > > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH
> [1]
> > é retângulo isósceles.
> > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é
> retângulo
> > isósceles. Como o lado
> > > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1]
e
> > APH[8] são congruentes
> > > pelo critério ALA. Considerando X como a medida
do
> > lado do octógono regular
> > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH
> [1]
> > = PH[8] = X/2 (iii)
> > >
> > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto
> PO
> > = L/2 (iv)
> > >
> > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na
> > igualdade (i), teremos:
> > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> > >
> > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> > >
> > > Atenciosamente,
> > >
> > > Rogério Moraes de Carvalho
> > > ______________________________________
> > > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-
obm-
> > l@mat.puc-rio.br] On
> > > Behalf Of Thor
> > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> > >
> > >
> > >
> > > Dois quadrados concêntricos de perímetro P ,
cada ,
> > são interceptados de
> > > modo que os pontos de interseção
> > > de seus lados sejam os vértices de um octógono
> > regular.Qual é o lado desse
> > > octógono em funçao de P?
> > >
> > >
> > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e
> dai
> > parei!!!!
> > >
> > > Agradeço desde de já.
> > >
> > >
> > >
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> > Atenciosamente,
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usar
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