[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
RE: [obm-l] Geom. Plana
E ai Rogério!
Poxa, acho que vc esta certo. Será que tem alguma
maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me
mandar. valew!
> Olá Osvaldo,
>
> Observe que você está tirando conclusões
baseadas somente no
> desenho. O enunciado não fornece nenhuma informação
que permita que você
> conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC
são paralelos. Ao afirmar
> que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está
afirmando de maneira
> indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir
do quadrado ABCD por
> uma rotação de 45° em torno do seu centro.
>
> Abraços,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
>
> Okay, concordo!
> Porém, não mencionei na minha solução por ME PARECER
> meio direto, desculpe.
> Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB, concluímos
que
> eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC
é
> comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja 45° ,
dai
> completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja,
> BIX vale 45 tambem.
>
> Falow, até.
>
> > Olá Osvaldo,
> >
> > Não há dados suficientes no enunciado do
> problema que permitam que
> > você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC
e
> IBJ são semelhantes. É
> > fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo
> ABC são os seguintes:
> > <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se
> trata de um triângulo
> > retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°).
> Porém, apesar de podermos
> > concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo
> <IBJ = 90°, não se pode
> > concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°.
> Sendo assim, não é
> > correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC
e
> IBJ pelo critério AA~,
> > a não ser que se prove antes que um dos ângulos
> agudos do triângulo IBJ é
> > igual a 45°. Uma possível demonstração está
colocada
> na solução que eu
> > propus.
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Rogério Moraes de Carvalho
> > -----Original Message-----
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@mat.puc-rio.br] On
> > Behalf Of Osvaldo
> > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58
> > To: obm-l
> > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> >
> > E ai Thór!
> >
> >
> > Creio que uma outra res. possível seja algo como
esta:
> >
> > Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente
> > congruentes.
> > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm
> > perímetro P, assim P=l/4
> >
> > Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do
primeiro
> > quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro
> quadrado
> > de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I
e
> J
> > as intersecções de EF com os lados AB e BC,
> > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
> > intersecção de OB com o lado EF.
> >
> > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são
> > semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB
> > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono
> > regular.
> >
> > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao
> lado
> > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja,
> l.sqrt
> > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> > Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o
> lado
> > do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.
(sqrt
> > (2)-1)=
> > (P/4).(sqrt(2)-1)
> >
> > Falow ai
> >
> >
> >
> >
> > > Olá Thor,
> > >
> > > Segue uma resolução possível para esta questão.
> > >
> > >
> > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> > >
> > > Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos
> > perímetros (P), então eles
> > > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L =
> > P/4). Como o esboço da
> > > figura é muito importante para facilitar a
> > compreensão da resolução, segue a
> > > descrição do mesmo.
> > >
> > > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L =
> > P/4) e centro O. Agora
> > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da
> rotação
> > de um ângulo BETA de
> > > ABCD em torno da sua origem O no sentido horário,
> tal
> > que 0 < BETA < 90°.
> > > Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados
> > como H[1], H[2], H[3],
> > > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de
> > interseção mais próximo de
> > > A no segmento AB.
> > >
> > > Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA')
> de
> > rotação do quadrado
> > > ABCD deve ser igual a 45°.
> > > Para isto, considere P o ponto de interseção do
> > segmento AO com o lado D'A'
> > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do
> > segmento A'O com o lado AB
> > > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o
ângulo
> <PH
> > [1]Q corresponde a um
> > > dos ângulos internos de um octógono regular (dado
> do
> > enunciado), então:
> > > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180°
> =>
> > <PH[1]A = 45°
> > > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma
> > diagonal e um lado do quadrado
> > > ABCD)
> > > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1]
+
> > <PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> > > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> > > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]
Q
> é
> > igual a 360°,
> > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP =
360°
> > => 90° + 135° + 90° +
> > > BETA = 360° => BETA = 45°
> > >
> > > Observe que: AO = AP + PO (i)
> > >
> > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto
> AO
> > = L.sqr(2)/2 (ii)
> > >
> > > AP: metade do lado do octógono regular (X/2),
pois
> na
> > dedução do ângulo de
> > > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH
> [1]
> > é retângulo isósceles.
> > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é
> retângulo
> > isósceles. Como o lado
> > > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1]
e
> > APH[8] são congruentes
> > > pelo critério ALA. Considerando X como a medida
do
> > lado do octógono regular
> > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH
> [1]
> > = PH[8] = X/2 (iii)
> > >
> > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto
> PO
> > = L/2 (iv)
> > >
> > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na
> > igualdade (i), teremos:
> > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> > >
> > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> > >
> > > Atenciosamente,
> > >
> > > Rogério Moraes de Carvalho
> > > ______________________________________
> > > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-
obm-
> > l@mat.puc-rio.br] On
> > > Behalf Of Thor
> > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> > >
> > >
> > >
> > > Dois quadrados concêntricos de perímetro P ,
cada ,
> > são interceptados de
> > > modo que os pontos de interseção
> > > de seus lados sejam os vértices de um octógono
> > regular.Qual é o lado desse
> > > octógono em funçao de P?
> > >
> > >
> > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e
> dai
> > parei!!!!
> > >
> > > Agradeço desde de já.
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
>
========================================================
> > =================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar
> > a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-
l.html
> > >
> >
>
========================================================
> > =================
> > >
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> > Osvaldo Mello Sponquiado
> > Usuário de GNU/Linux
> >
> >
> >
> >
>
________________________________________________________
> __________________
> > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> > AntiPop-up UOL - É grátis!
> > http://antipopup.uol.com.br/
> >
> >
> >
> >
>
========================================================
> =================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar
> a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
========================================================
> =================
> >
> >
> >
> >
>
========================================================
> =================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar
> a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
========================================================
> =================
> >
>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usuário de GNU/Linux
>
>
>
>
________________________________________________________
__________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - É grátis!
> http://antipopup.uol.com.br/
>
>
>
>
========================================================
=================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
========================================================
=================
>
>
>
>
========================================================
=================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
========================================================
=================
>
Atenciosamente,
Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usuário de GNU/Linux
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================