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RE: [obm-l] Geom. Plana



Olá Osvaldo,

	Observe que você está tirando conclusões baseadas somente no
desenho. O enunciado não fornece nenhuma informação que permita que você
conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC são paralelos. Ao afirmar
que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está afirmando de maneira
indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir do quadrado ABCD por
uma rotação de 45° em torno do seu centro.

Abraços,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana

Okay, concordo!
Porém, não mencionei na minha solução por ME PARECER 
meio direto, desculpe.
Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB, concluímos que 
eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC é 
comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja 45° , dai 
completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, 
BIX vale 45 tambem. 

Falow, até. 

> Olá Osvaldo,
> 
> 	Não há dados suficientes no enunciado do 
problema que permitam que
> você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC e 
IBJ são semelhantes. É
> fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo 
ABC são os seguintes:
> <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se 
trata de um triângulo
> retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°). 
Porém, apesar de podermos
> concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo 
<IBJ = 90°, não se pode
> concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°. 
Sendo assim, não é
> correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC e 
IBJ pelo critério AA~,
> a não ser que se prove antes que um dos ângulos 
agudos do triângulo IBJ é
> igual a 45°. Uma possível demonstração está colocada 
na solução que eu
> propus.
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> 
> E ai Thór!
> 
> 
> Creio que uma outra res. possível seja algo como esta:
> 
> Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente 
> congruentes.
> Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm 
> perímetro P, assim P=l/4
> 
> Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do primeiro 
> quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro 
quadrado 
> de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I e 
J 
> as intersecções de EF com os lados AB e BC, 
> respectivamente; O o centro dos quadrados e X a 
> intersecção de OB com o lado EF.
> 
> Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são 
> semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB 
> temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono 
> regular. 
> 
> Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao 
lado 
> do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, 
l.sqrt
> (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o 
lado 
> do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt
> (2)-1)=
> (P/4).(sqrt(2)-1)
> 
> Falow ai
> 
> 
> 
> 
> > Olá Thor,
> > 
> > 	Segue uma resolução possível para esta questão.
> > 
> > 
> > RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> > 
> > Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos 
> perímetros (P), então eles
> > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = 
> P/4). Como o esboço da
> > figura é muito importante para facilitar a 
> compreensão da resolução, segue a
> > descrição do mesmo.
> > 
> > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = 
> P/4) e centro O. Agora
> > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da 
rotação 
> de um ângulo BETA de
> > ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, 
tal 
> que 0 < BETA < 90°.
> > Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados 
> como H[1], H[2], H[3],
> > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de 
> interseção mais próximo de
> > A no segmento AB.
> > 
> > Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') 
de 
> rotação do quadrado
> > ABCD deve ser igual a 45°.
> > Para isto, considere P o ponto de interseção do 
> segmento AO com o lado D'A'
> > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do 
> segmento A'O com o lado AB
> > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo 
<PH
> [1]Q corresponde a um
> > dos ângulos internos de um octógono regular (dado 
do 
> enunciado), então:
> > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° 
=> 
> <PH[1]A = 45°
> > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma 
> diagonal e um lado do quadrado
> > ABCD)
> > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + 
> <PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q 
é 
> igual a 360°,
> > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360° 
> => 90° + 135° + 90° +
> > BETA = 360° => BETA = 45°
> > 
> > Observe que: AO = AP + PO (i)
> > 
> > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto 
AO 
> = L.sqr(2)/2 (ii)
> > 
> > AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois 
na 
> dedução do ângulo de
> > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH
[1] 
> é retângulo isósceles.
> > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é 
retângulo 
> isósceles. Como o lado
> > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e 
> APH[8] são congruentes
> > pelo critério ALA. Considerando X como a medida do 
> lado do octógono regular
> > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH
[1] 
> = PH[8] = X/2 (iii)
> > 
> > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto 
PO 
> = L/2 (iv)
> > 
> > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na 
> igualdade (i), teremos:
> > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> > 
> > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> > 
> > Atenciosamente,
> > 
> > Rogério Moraes de Carvalho
> > ______________________________________
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@mat.puc-rio.br] On
> > Behalf Of Thor
> > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> > 
> >  
> >  
> > Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada , 
> são interceptados de
> > modo que os pontos de interseção
> > de seus lados sejam os vértices de um octógono 
> regular.Qual é o lado desse
> > octógono em funçao de P?
> >  
> >  
> > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e 
dai 
> parei!!!!
> >  
> >     Agradeço desde de já.
> > 
> > 
> > 
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> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
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