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RE: [obm-l] Geom. Plana
Okay Rogério vou analisá la,... valew!
> Osvaldo,
>
> Para chegar a esta conclusão, você vai ter que
levar em conta o
> seguinte dado do enunciado do problema: "... os
pontos de interseção
> de seus lados sejam os vértices de um octógono
regular.". Sendo assim, você
> pode levar em consideração que todos os ângulos
internos do octógono regular
> são iguais a 135°. Usando esta informação, você pode
comprovar as suas
> conclusões de várias maneiras. Observe que você não
tinha usado esta
> informação, portanto você estava resolvendo um
problema mais genérico como
> se fosse um caso particular.
>
> Obs.: Se estiver com tempo, dê uma analisada na
resolução que eu propus. A
> resolução parece extensa, mas isto ocorreu devido a
eu ter explicado
> detalhadamente todos os passos e cálculos. Ao
analisar os passos da
> resolução, você poderá concluir que a resolução é
bem simples.
>
> Abraços,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: sábado, 29 de maio de 2004 21:50
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
>
> E ai Rogério!
>
> Poxa, acho que vc esta certo. Será que tem alguma
> maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me
> mandar. valew!
>
>
>
>
>
> > Olá Osvaldo,
> >
> > Observe que você está tirando conclusões
> baseadas somente no
> > desenho. O enunciado não fornece nenhuma
informação
> que permita que você
> > conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC
> são paralelos. Ao afirmar
> > que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está
> afirmando de maneira
> > indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a
partir
> do quadrado ABCD por
> > uma rotação de 45° em torno do seu centro.
> >
> > Abraços,
> >
> > Rogério Moraes de Carvalho
> > -----Original Message-----
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@mat.puc-rio.br] On
> > Behalf Of Osvaldo
> > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55
> > To: obm-l
> > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> >
> > Okay, concordo!
> > Porém, não mencionei na minha solução por ME
PARECER
> > meio direto, desculpe.
> > Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB,
concluímos
> que
> > eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que
BC
> é
> > comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja
45° ,
> dai
> > completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou
seja,
> > BIX vale 45 tambem.
> >
> > Falow, até.
> >
> > > Olá Osvaldo,
> > >
> > > Não há dados suficientes no enunciado do
> > problema que permitam que
> > > você conclua de forma DIRETA que os triângulos
ABC
> e
> > IBJ são semelhantes. É
> > > fácil e direto concluir que os ângulos do
triângulo
> > ABC são os seguintes:
> > > <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que
se
> > trata de um triângulo
> > > retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°).
> > Porém, apesar de podermos
> > > concluir diretamente que no triângulo IBJ o
ângulo
> > <IBJ = 90°, não se pode
> > > concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB =
45°.
> > Sendo assim, não é
> > > correto fazer a semelhança entre os triângulos
ABC
> e
> > IBJ pelo critério AA~,
> > > a não ser que se prove antes que um dos ângulos
> > agudos do triângulo IBJ é
> > > igual a 45°. Uma possível demonstração está
> colocada
> > na solução que eu
> > > propus.
> > >
> > > Atenciosamente,
> > >
> > > Rogério Moraes de Carvalho
> > > -----Original Message-----
> > > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-
obm-
> > l@mat.puc-rio.br] On
> > > Behalf Of Osvaldo
> > > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58
> > > To: obm-l
> > > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> > >
> > > E ai Thór!
> > >
> > >
> > > Creio que uma outra res. possível seja algo como
> esta:
> > >
> > > Dois quadrados com mesmo perímetro são
certamente
> > > congruentes.
> > > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados
têm
> > > perímetro P, assim P=l/4
> > >
> > > Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do
> primeiro
> > > quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro
> > quadrado
> > > de tal forma que B está mais proxima de EF.
Sejam I
> e
> > J
> > > as intersecções de EF com os lados AB e BC,
> > > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
> > > intersecção de OB com o lado EF.
> > >
> > > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são
> > > semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB
> > > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do
octógono
> > > regular.
> > >
> > > Observe que a diagonal do quadrado corresponde
ao
> > lado
> > > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja,
> > l.sqrt
> > > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> > > Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo
o
> > lado
> > > do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.
> (sqrt
> > > (2)-1)=
> > > (P/4).(sqrt(2)-1)
> > >
> > > Falow ai
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > Olá Thor,
> > > >
> > > > Segue uma resolução possível para esta
questão.
> > > >
> > > >
> > > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> > > >
> > > > Se os dois quadrados concêntricos têm os
mesmos
> > > perímetros (P), então eles
> > > > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L
=
> > > P/4). Como o esboço da
> > > > figura é muito importante para facilitar a
> > > compreensão da resolução, segue a
> > > > descrição do mesmo.
> > > >
> > > > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L
(L =
> > > P/4) e centro O. Agora
> > > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da
> > rotação
> > > de um ângulo BETA de
> > > > ABCD em torno da sua origem O no sentido
horário,
> > tal
> > > que 0 < BETA < 90°.
> > > > Nomeie os pontos de interseção dos dois
quadrados
> > > como H[1], H[2], H[3],
> > > > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto
de
> > > interseção mais próximo de
> > > > A no segmento AB.
> > > >
> > > > Segue a demonstração de que o ângulo BETA
(<AOA')
> > de
> > > rotação do quadrado
> > > > ABCD deve ser igual a 45°.
> > > > Para isto, considere P o ponto de interseção
do
> > > segmento AO com o lado D'A'
> > > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção
do
> > > segmento A'O com o lado AB
> > > > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o
> ângulo
> > <PH
> > > [1]Q corresponde a um
> > > > dos ângulos internos de um octógono regular
(dado
> > do
> > > enunciado), então:
> > > > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> > > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° =
180°
> > =>
> > > <PH[1]A = 45°
> > > > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma
> > > diagonal e um lado do quadrado
> > > > ABCD)
> > > > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH
[1]
> +
> > > <PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> > > > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> > > > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH
[1]
> Q
> > é
> > > igual a 360°,
> > > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP =
> 360°
> > > => 90° + 135° + 90° +
> > > > BETA = 360° => BETA = 45°
> > > >
> > > > Observe que: AO = AP + PO (i)
> > > >
> > > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD,
portanto
> > AO
> > > = L.sqr(2)/2 (ii)
> > > >
> > > > AP: metade do lado do octógono regular (X/2),
> pois
> > na
> > > dedução do ângulo de
> > > > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo
APH
> > [1]
> > > é retângulo isósceles.
> > > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é
> > retângulo
> > > isósceles. Como o lado
> > > > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH
[1]
> e
> > > APH[8] são congruentes
> > > > pelo critério ALA. Considerando X como a
medida
> do
> > > lado do octógono regular
> > > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP =
PH
> > [1]
> > > = PH[8] = X/2 (iii)
> > > >
> > > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D',
portanto
> > PO
> > > = L/2 (iv)
> > > >
> > > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv)
na
> > > igualdade (i), teremos:
> > > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> > > >
> > > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> > > >
> > > > Atenciosamente,
> > > >
> > > > Rogério Moraes de Carvalho
> > > > ______________________________________
> > > > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-
> obm-
> > > l@mat.puc-rio.br] On
> > > > Behalf Of Thor
> > > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Dois quadrados concêntricos de perímetro P ,
> cada ,
> > > são interceptados de
> > > > modo que os pontos de interseção
> > > > de seus lados sejam os vértices de um octógono
> > > regular.Qual é o lado desse
> > > > octógono em funçao de P?
> > > >
> > > >
> > > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos ,
e
> > dai
> > > parei!!!!
> > > >
> > > > Agradeço desde de já.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
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e
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> > > a lista em
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