Oi, Artur:
Quando eu voltar pra São Paulo vou dar uma lida séria no Curso de Análise - vol. 2 do Elon, de onde estão saindo todos esses problemas. Eu sei que no R^n (n > 1) diferenciabilidade é uma condição muito mais forte do que na reta, mas ainda não entendi porque a minha passagem ao limite é inválida no problema das derivadas direcionais, e o exemplo do sci.math não é dos mais intuitivos...
De qualquer forma, obrigado pelas explicações.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 6 May 2004 08:13:09 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao |
> Oi Claudio,
> Eu, conforme disse em outra mensagem, estou na duvida
> se podemos aplicar o teorema do valor medio. As
> condicoes dadas naum implicam que f seja diferenciavel
> num aberto. Eh verdae que, conforme vc disse, implicam
> continuidade uniforme. E mais ainda, implicam que f eh
> Lipschitz, pois |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> > y|. Mas acho que naum implicam a existencia de todas
> as derivadas direcionais. Eu estava achando que o fato
> de as derivadas parciais serem limitadas em um
> conjunto U implicariam a condicao desejada, mas isto
> eh falso. Pedi ajuda ao grupo internacional sci.math,
> e obtive o seguinte:
>
> > I have a question and couldn't come to a conclusion
> yet.
> > Suppose all the partial derivatives of f:R^n -> R
> exist and are
> > bounded on an open set U. This doesn't imply
> differentiability of f on
> > U, but does it imply the existence of all the
> directional derivatives
> > of f on U?
>
> No. With z = (x,y), let f(z) = 0 if z = (0,0), f(z) =
> (xy/|z|)*sin(ln(|z|))
> otherwise. Then f is C^oo on R^2 \ {(0,0)}. A little
> computation shows that
> the partial derivatives of f are bounded on R^2 \
> {(0,0)}. Because f
> vanishes on the coordinate axes, the partial
> derivatives of f exist and are
> bounded on all of R^2. But for x > 0, f(x,x) =
> (x/sqrt(2))*sin(ln(sqrt(2)x)), which is not
> differentiable at x = 0. Thus f
> fails to have a directional derivative at (0,0) in the
> direction of (1,1).
> In fact, f fails to have directional derivatives at
> (0,0) in all directions
> except those along x and y axes.
>
>
> --- "claudio.buffara"
> wrote:
> > Fico contente. E como o Nicolau e o Artur n?o se
> > manifestaram, acho que a demonstra??o deve estar
> > certa mesmo.
> >
> > Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> > y||, para quaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da
> > soma de a), acho que podemos provar at? que f ?
> > uniformemente cont?nua em U, n?o? Basta tomar delta
> > = epsilon/M.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > C?pia:
> >
> > Data:Wed, 05 May 2004 22:27:46 +0000
> >
> > Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
> >
> >
> >
> > >
> > > Cla?dio
> > >
> > > Achei a id?ia muito boa e eu n?o consegui achar
> > erros. Agora, gra?as a vc,
> > > vou tentar provar o caso geral ao qual j? me
> > referi: Se f possui derivadas
> > > parciais limitadas num aberto qualquer ela ?
> > cont?nua.
> > >
> > > Valeu...
> > >
> > >
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