Re: [obm-l] outra de derivada parcial

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

O que este problema pede eh para deduzir o Teorema do
Valor Medio no caso de funcoes de R^n -> R. Admitamos
que o enunciado tenha sido modificado e que, em vez de
se supor apenas a existencia das derivadas parciais de
f no retangulo aberto, estejamos supondo
difenciabilidade de f. Isto implica a existencia de
todas as derivadas direcionais em todos os pontos do
retangulo. 

Sejam a e b pontos do retangulo. Como este eh convexo,
o segmento que une a a b estah todo no retangulo. Seja
u = (b-a)/||b-a|| o vetor unitario na direcao do
segmento e definamos g:[0,1] -> R por g(t) = f(a+
t/(||b-a||)*u), de modo que g(0) = f(a) e g(1) = f(b).
Temos entao que g eh diferenciavel em [0,1], valendo
assim o T. do Valor Medio, caso unidimensional. Existe
portanto um  0<y<1 tal que g(1) - g(0) = f(b) - f(a) =
g'(y). Mas g'(y) eh a derivada direcional de f no
ponto x =a+ y/(||b-a||)*u, o qual estah no segmento
que une a e b.A diferenciabilidade de f no retangulo
aberto implica entao que g'(y) = D_u(x) = Grad(x)*u,
sendo D_u(x) a derivada direcional em x na direcao u e
Grad o gradiente de f. Na ultima equacao * siginfica
produto escalar.
Aplicando-se este teorema ao seu caso no R^2, temos a
cxonclusao desejada. Ou melhor TERIAMOS, porque as
condicoes dadas nao implicam difreenciabilidade de f.
Acho que o problema estah mal formulado.
Artur  


 Carlos bruno Macedo <cabrmacedo@hotmail.com> wrote:
> Provar
> 
> Seja A c R^2 um retangulo aberto, de lados paralelos
> aos eixos. Se f: A--->R 
> possui derivadas parciais em todos os pontos de A
> então, dados (a,b) e 
> (a+h,b+k) em A existe t em (0,1) tal que            
>    
> f(a+h,b+k)-f(a,b)=d1f(a+th,b+k)h + d2f(a+h,b+tk)k.
> 
> Obrigado
> 
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