Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Claudio,
Eu, conforme disse em outra mensagem, estou na duvida
se podemos aplicar o teorema do valor medio. As
condicoes dadas naum implicam que f seja diferenciavel
num aberto. Eh verdae que, conforme vc disse, implicam
continuidade uniforme. E mais ainda, implicam que f eh
Lipschitz, pois |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> y|. Mas acho que naum implicam a existencia de todas
as derivadas direcionais. Eu estava achando que o fato
de as derivadas parciais serem limitadas em um
conjunto U implicariam a condicao desejada, mas isto
eh falso. Pedi ajuda ao grupo internacional sci.math,
e obtive o seguinte:    

> I have a question and couldn't come to a conclusion
yet. 
> Suppose all the partial derivatives of f:R^n -> R
exist and are
> bounded on an open set U. This doesn't imply
differentiability of f on
> U, but does it imply the existence of all the
directional derivatives
> of f on U?

No. With z = (x,y), let f(z) = 0 if z = (0,0), f(z) =
(xy/|z|)*sin(ln(|z|)) 
otherwise. Then f is C^oo on R^2 \ {(0,0)}. A little
computation shows that 
the partial derivatives of f are bounded on R^2 \
{(0,0)}. Because f 
vanishes on the coordinate axes, the partial
derivatives of f exist and are 
bounded on all of R^2. But for x > 0, f(x,x) = 
(x/sqrt(2))*sin(ln(sqrt(2)x)), which is not
differentiable at x = 0. Thus f 
fails to have a directional derivative at (0,0) in the
direction of (1,1). 
In fact, f fails to have directional derivatives at
(0,0) in all directions 
except those along x and y axes.


--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Fico contente. E como o Nicolau e o Artur não se
> manifestaram, acho que a demonstração deve estar
> certa mesmo.
> 
> Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> y||, para quaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da
> soma de a), acho que podemos provar até que f é
> uniformemente contínua em U, não? Basta tomar delta
> = epsilon/M.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Wed, 05 May 2004 22:27:46 +0000
> 
> Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
> 
> 
> 
> >
> > Claúdio
> >
> > Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar
> erros. Agora, graças a vc,
> > vou tentar provar o caso geral ao qual já me
> referi: Se f possui derivadas
> > parciais limitadas num aberto qualquer ela é
> contínua.
> >
> > Valeu...
> >
> >
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