[obm-l] Grafico de funcoes

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Olah,

Tentando colaborar com o Tertuliano em alguns
problemas de Topologia, eu citei o seguinte teorema
que vi uma vez na lista de exercicios de um livro de
Analise:

Sejam X e Y espacos metricos, Y compacto, e seja f uma
funcao de X em Y. Entao, f eh continua se, e somente
se, o grafico de f for um subconjunto fechado de X x
Y. O grafico de f eh o subconjunto de X x Y dado por G
= {(x,y) em X x Y | y = f(x)}. A metrica D definida em
X x Y eh similar aa Euclidiana, dada pela funcao D tal
que D((x,y), (u,v)) = sqrt(Dx(x,u)^2 + Dy(y,v)^2),
onde Dx e Dy sao as metricas de X e de Y,
respectivamente.

A prova que eu encontrei para este teorema foi a 
seguinte:

=> Suponhamos que f seja continua e seja (x,y) um
ponto do fecho de G. Existe entao uma sequencia {x_n,
y_n} = {x_n, f(x_n)} em G que converge para (x,y). A
metrica D definida em X x Y implica entao que {x_n}
convirja em X para x e {y_n} convirja em Y para y.
Como f eh continua, {y_n)} = {f(x_n} converge em Y
para f(x), o que implica que y = f(x). Logo, (x,y)
estah em G, do que concluimos que G contem seus pontos
de fecho e eh, portanto, um conjunto fechado de X x Y.

Interessante observar que nao usamos o fato de que Y
eh compacto. Na realidade, a parte => do teorema naum
requer tal condicao.

<= Suponhamos agora que G seja um subconjunto fechado
de X x Y (supondo-se Y compacto). Seja x um elemento
generico de X e seja {x_n} qualquer sequencia de X que
convirja para x. Vamos mostrar que f(x_n) -> f(x), o
que implica continuidade de f em x. 
Seja {y_n} = {f(x_n)}. Temos que {y_n} eh uma
sequencia no espaco metrico compacto Y e que {x_n,
y_n}eh uma sequencia em G. Da primeira condicao,
segue-se que {y_n} contem subsequencias convergentes.
Sejam {x_n_k} uma destas subsequencias e y o seu
limite em Y. Como {x_n_k} converge para x - pois {x_n}
converge para tal elemento - segue-se da definicao da
metrica D em X x Y que {x_n_k, y_n_k} converge neste
espaco para (x, y). E como {x_n_k, y_n_k} estah em G,
que eh fechado, temos que (x,y) estah em G, o que
acarreta que y = f(x). Para cada x de X, existe um
unico y =f(x), do que deduzimos que todas as
subsequencias convergentes de {y_n} apresentam o mesmo
limite y. Esta condicao acarreta que a propria {y_n} =
{f(x_n)} convirja para y = f(x), o que implica
continuidade de f em x. Considerando-se que x eh
arbitrario, concluimos que f eh continua em X.  

Para a parte <= do teorema,  baseano-nos efetivamente
a hipotese de que Y eh compacto. Isto eh, de fato,
essencial.  

Esta demonstracao eh especifica para espacos metricos
ou espacos topologicos metrizaveis. Em espacos
topologicos gerais, naum se pode afirmar que, se x eh
elemento do fecho de um conjunto C, entao existe uma
sequencia em C que convirja para x. Alem disto, a
chamada chamada definicao sequencial de continuidade,
utilizada na demonstracao, tambem naum vale em espacos
topologicos gerais, nem mesmo em todos os espacos de
Hausdorff. Eu sei porem que, se no enunciado do
teorema, supusermos que X eh um espaco topologico
generico e Y um espaco de Hasdorff, entao ele
permanece valido.

A minha duvida eh, para demonstrarmos o teorema no
caso geral, que topologia devemos assumir em X x Y?
Acho que a chamada toplogia produto, certo?

Artur

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