Re: [obm-l] Matriz Inversivel

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.03.04 13:52, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> Oi, pessoal:
>> 
>> Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
>> (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?
>> 
>> A eh tal que:
>> A(i,i) = 1
>> A(i,i+1) = -1
>> A(i,i+2) = 1
>> para 1 <= i <= 2005  (mod 2005)
>> e
>> A(i,j) = 0 em todos os outros casos.
>> 
>> OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
>> 1  -1
>> 0   1
> 
> Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada.
> Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12,
> igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .):
> 
> +-+.........
> .+-+........
> ..+-+.......
> ...+-+......
> ....+-+.....
> .....+-+....
> ......+-+...
> .......+-+..
> ........+-+.
> .........+-+
> +.........+-
> -+.........+
> 
> Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t.
> 
Voce entendeu, sim! Eu eh que troquei os indices e acabei descrevendo acima
a transposta da matriz do enunciado original. Mas nao faz a menor
diferenca...

> Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por
> a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}.
> Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em
> Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005]
> onde zk = exp(2 pi i/k).
>
Soh pra ver se eu entendi: voce estah dizendo que como Q[x] eh a soma dos
ideais gerados pelos polinomios ciclotomicos correspondentes aos divisores
de 2005, entao, o quociente de Q[x] pela interseccao desses ideais eh
isomorfo a soma direta dos quocientes de Q[x] por cada um desses polinomios.
E como os polinomios sao irredutiveis, cada uma das parcelas eh um corpo.
 
> A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} =
> X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1)
> são raízes primitivas de ordem 6 da unidade.
>
OK. As partes reais de w e w' somam 1.

> Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si
> segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w]
> (pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]).
>
Belo truque! Eu jamais teria pensado nisso.

Obrigado pela solucao.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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