[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Marcelo,

Uma forma de você conseguir "fatorações mágicas" é raciocinar baseando-se
nas identidades que já conhece, ou ainda, como se se tratassem de equações.
Por exemplo, vou demonstrar a soma de dois cubos:

x^3 + y^3 = 0 ==> x^3 = -y^3 ==> x = - y ==> x + y = 0

Assim, temos que (x+y) é um dos fatores de x^3 + y^3. Se você utilizar o
método da chave (algoritmo de Euclides), dividindo x^3 + y^3 por (x+y),
obterá x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy).

O seu caso é a soma de três cubos subtraída do triplo do produto das três
variáveis: x^3+y^3+z^3-3xyz. Aqui o raciocínio usado traria:
x^3+y^3+z^3-3xyz = 0 ==> x^3+y^3+z^3 = 3xyz. Não se obtém uma resposta
direta, mas vale a pena observar que a igualdade deixa uma suspeita: o fator
deve depender de x, y e z. Se você supuser esse fator como (x+y+z) e
utilizar o método da chave novamente, verá que x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz =
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz).

É bastante claro que isso foi uma tentativa, poderia não ter dado certo.
Fatorar nem sempre é uma tarefa fácil, lembro-me de que Lamé usou a
fatoração de (X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7) para provar que o Último Teorema de
Fermat é verdadeiro para n = 7. E, acredite, o que ele fez não foi nada,
nada óbvio. Enfim, não há uma receita, mas conhecendo-se (ou
desconfiando-se) de um fator, isso ajuda muito!

Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: "k4ssmat" <k4ssmat@uol.com.br>
To: "Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, March 04, 2004 1:56 AM
Subject: [obm-l] Fatoração


Olá,
sou novo na lista, é uma honra conversar sobre matemática com
tantos entendidos do assunto.
Estou estudando para o vestibular e peguei um exercício de
uma das olimpiadas internacionais de matematica (pelo menos é
o que dizia no exercicio), que segue abaixo:

Fatore: x^3 + y^3 + z^3 - 3*x*y*z

Consegui fatorar por diversos caminhos diferentes, mas não
obtendo a resposta. Então peguei a resposta, e a entendi
perfeitamente, o que me faltou foi visão. Pois a resposta foi
apenas um outro caminho que eu ainda não tinha tentado.

Gostaria de dicas, ou exercícios que me ajudem a "enxegar"
essas fatorações. Estou aqui com mais 5 exercícios, sendo 1
deles de uma olimpiada brasileira de matematica, que ainda
não consegui fazer e após sua ajuda, espero conseguir.

Obrigado
Marcelo

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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