Re: RES: [obm-l] geometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 26, 2004 at 12:54:30PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
> > Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
> > dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
> > determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
> > semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
> > cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
> > êxitos.
> 
> Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
> tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
> sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
> centrada no vértice do triedro.
> 
> É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
> entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
> esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
> Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
> diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
> é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
> Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
> ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
> de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).
> 
> O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
> esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
> de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
> apenas acho que vai ser uma fórmula feia.

Ok, vamos obter a fórmula que você quer. Suponha que os lados do triângulo
esférico sejam a, b, c e os ângulos sejam A, B, C. O primeiro passo
é usar a lei dos cossenos esférica:

cos a = cos b cos c + cos A sen b sen c

ou

cos A = (cos a - cos b cos c)/(sen b sen c)

Bem, provavelmente a maioria de vocês nunca viu a lei dos cossenos esférica,
então vamos provar. Podemos supor sem perda de generalidade que o vértice
A é (1,0,0) e que o vértice B é (cos c, sen c, 0). Não é difícil verificar
que o vértice C é (cos b, cos A sen b, +- sen A sen b), onde o sinal
tem a ver com a orientação do triângulo.

Note que a lei dos cossenos euclidiana é um caso limite da lei dos cossenos
esférica. De fato, vamos fazer o triângulo encolher, isto é, ter lados
at, bt, ct onde t tende a 0 por valores positivos. Queremos cos A(0),
o valor limite de cos A(t) quando t tende a zero:

cos A(t) = (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)

cos A(0) = lim_{t -> 0} (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
    (l'Hopital)
                          - a sen at + b sen bt cos ct + c cos bt sen ct
         = lim_{t -> 0} -------------------------------------------------
                                 b cos bt sen ct + c sen bt cos ct
  (continua dando 0/0, vamos usar l'H de novo, mas agora não vai mais
   dar 0/0, então vamos jogar fora os termos que ainda dão 0, trocar
   os senos por 0 e os cossenos por 1)
            - a^2 + b^2 + c^2
         = --------------------
                    2bc

Ou a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A(0).

Note ainda que a lei dos cossenos esférica tem um dual.
O dual de um triângulo esférico de vértices A, B, C e lados a, b, c
tem vértices A', B', C' e lados a', b', c' onde A' e perpendicular a a,
B' é perpendicular a b, ..., c' é perpendicular a C.
Note ainda que A' = Pi - a, B' = Pi - b, ..., c' = Pi - C.

Assim
cos a' = cos b' cos c' + cos A' sen b' sen c'
vira
- cos A = cos B cos C - cos a sen B sen C

Mas voltando à sua pergunta, temos
A = arc cos((cos a - cos b cos c)/(sen b sen c))
B = arc cos((cos b - cos c cos a)/(sen c sen a))
C = arc cos((cos c - cos a cos b)/(sen a sen b))
e como
S = A + B + C - Pi
isso nos dá uma fórmula complicada para a área em função de a, b, c.

Talvez exista uma fórmula mais simples, não sei.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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