RES: [obm-l] geometria

["Douglas Ribeiro Silva" <douglasrsilva@xxxxxxxxxx>]

Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num
triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se
fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo
seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C =
60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz.

Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
êxitos.

Um abraço, Douglas Ribeiro Silva

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:50
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] geometria

Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço
da esfera de raio 1 limitaedo por três "segmentos" que são pedaços de
círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C.
A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos
em radianos).

On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +0000, kleinad@webcpd.com wrote:
> DESAFIO!!!!!!!!!!!!!!!!!!
> @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a
ligação de
> seus centros formem um tetraedro. O tetraedro “corta” um certo volume
de
> cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r?

Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais
a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo
esférico
contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3
disso
(pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo
A - Pi/3 ~= 0.1837618663.

Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3.

Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera
(que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103.

> @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a
ligação de
> seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as
arestas
> iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que
as 4
> esferas da base quadrática “corta” da pirâmide e o volume que a esfera
do
> topo “corta” da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de
r?

Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro
regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base.
Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos 
B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano
que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado 
pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a
um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0),
(0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2)
logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que
A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para
encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma
par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área
do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é
(4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já
dissemos,
SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~=
0.4531158786.

Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de
encher
o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao
redor
de cada vértice.

> @Se do volume da pirâmide quadrática acima for “cortado” todos os
volumes
> formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará
um
> volume central não “cortado”.

O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~=
1.885618082.
Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446.

> Se o volume central fosse
> necessariamente “distribuído” para as 5 esferas, como seria feito a
> distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte
esférica de
> dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera “corta” da pirâmide?

Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e
áreas
são trivialmente proporcionais, como já vimos.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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