Re: [obm-l] Problema sobre um Anel

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Feb 15, 2004 at 10:02:53AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Oi, pessoal:
> 
> Esse aqui tah dando trabalho:
> 
> Seja (A,(+),(*)) um anel, onde:
> A = conjunto dos racionais no intervalo [0,1);
> a (+) b = a + b (mod 1), ou seja:
> a + b < 1 ==> a (+) b = a + b    e    a + b >= 1 ==> a (+) b = a + b - 1.
> 
> Prove que a (*) b = 0, para quaisquer a, b em A.

Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos
entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0
e analogamente b*(1/a * 1/b) = 0 (aqui a multiplicação por a e por b
não é a multiplicação do anel, é multiplicar um inteiro por um elemento
de um grupo aditivo). Mas existem inteiros c e d tais que ad - bc = 1.
Assim (1/a * 1/b) = (ad - bc)*(1/a * 1/b) = d*0 - c*0 = 0.

Vamos agora provar que 1/p^a * 1/p^b = 0, onde p é um primo e a e b
são inteiros positivos. Seja x = 1/p^a * 1/p^{b+a}. Claramente
p^a * x = (p^a * 1/p^a)*1/p^{b+a} = 0*1/p^{b+a} = 0.
Por outro lado p^a * x = 1/p^a * (p^a * 1/p^{b+a}) = 1/p^a * 1/p^b.

Mas todo racional pode ser escrito como soma de racionais de denominador
potência de primo. Isto mostra que o produto é zero sempre.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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