RE: [obm-l] Problema sobre um Anel

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
>Behalf Of Nicolau C. Saldanha
>Sent: Sunday, February 15, 2004 1:27 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Problema sobre um Anel
>
>On Sun, Feb 15, 2004 at 10:02:53AM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> Oi, pessoal:
>>
>> Esse aqui tah dando trabalho:
>>
>> Seja (A,(+),(*)) um anel, onde:
>> A = conjunto dos racionais no intervalo [0,1);
>> a (+) b = a + b (mod 1), ou seja:
>> a + b < 1 ==> a (+) b = a + b    e    a + b >= 1 ==> a (+) b = a + b - 1.
>>
>> Prove que a (*) b = 0, para quaisquer a, b em A.
>
>Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos
>entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0
Eu fiquei com duvida, porque podemos afirmar que (a* 1/a)*1= 0?


>e analogamente b*(1/a * 1/b) = 0 (aqui a multiplicação por a e por b
>não é a multiplicação do anel, é multiplicar um inteiro por um elemento
>de um grupo aditivo). Mas existem inteiros c e d tais que ad - bc = 1.
>Assim (1/a * 1/b) = (ad - bc)*(1/a * 1/b) = d*0 - c*0 = 0.
>
>Vamos agora provar que 1/p^a * 1/p^b = 0, onde p é um primo e a e b
>são inteiros positivos. Seja x = 1/p^a * 1/p^{b+a}. Claramente
>p^a * x = (p^a * 1/p^a)*1/p^{b+a} = 0*1/p^{b+a} = 0.
>Por outro lado p^a * x = 1/p^a * (p^a * 1/p^{b+a}) = 1/p^a * 1/p^b.
>
>Mas todo racional pode ser escrito como soma de racionais de denominador
>potência de primo. Isto mostra que o produto é zero sempre.
>
>[]s, N.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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