Re: [obm-l] Produto de comutadores

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores
> NÃO É necessariamnete um comutador?

Outro exemplo é SL(2,R). Afirmo que -I não é um comutador.
Vou escrever A' em vez de A^{-1}.

Suponha ABA'B' = -I. Seja v um autovetor de B associado ao
autovalor l (real ou complexo). Então
ABA'B'v = (1/l) ABA'v = -v
donde
B(A'v) = -l (A'v)
e -l também é autovalor.
Como estamos supondo det B = 1 isto significa que os autovalores são +-i.
Uma conta parecida mostra que a mesma coisa vale para A.
Assim A' = -A e B' = -B e ABA'B' = ABAB = (AB)^2 = -I
e a matriz AB também tem autovalores +-i.

Podemos conjugar tudo por X e supor que
    (0  -1)
A = (     )
    (1   0)
Uma matrix 2x2 de det 1 tem estes autovals se e somente se seu traço é 0,
assim
    (a  b)
B = (    )
    (c -a)
com a^2 + bc = -1. Mas 
     (-c  a)
AB = (     )
     ( a  b)
e tr(AB) = 0 implica b = c. Assim a^2 + b^2 = -1, absurdo.

Por outro lado, tomando a = 2, c = sqrt(17)/3, s = sqrt(8)/3,
    (a    0)
A = (      )
    (0  1/a)
e
    (c s)
B = (   )
    (s c)
temos (ABA'B')^2 = -I.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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