[obm-l] RE: [obm-l] dúvida1

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Victor,
Esta eh a sequencia das somas parciais da famosissima serie cujo limite eh o
numero e. 
Eh crescente porque, para cada natural n>=2, 1/n >0, de modo que a_n = a_n-1
+ 1/n > a_n-1. A sequencia eh estritamente crescente.
Para chegarmos aa conclusao do Elon, observemos que, para n>2, n! =1*2....*n
>2*2...*2 (n-1 vezes) = 2^(n-1). Logo, 1/n! < 1/(2^(n-1)) e 1 +1/1 + 1/2!
...+1/n! < 1 +1/1 +1/2 + 1/(2^2)...+ 1/(2^(n-1)) < 1+ 1/1 +1/2 + 1/4...+
1/(2^n)..... Mas 1/1 +1/2 + 1/(2^n).... eh uma serie geometrica cuja razao
eh 1/2 <1. Logo, esta serie converge para 1/(1-1/2) =2, do que concluimos
que 1 + 1 +1/2!....+1/n!....<1+2 =3. Assim, a_n eh limitada e
monotonicamente crescente, logo convergente. Converge para o famoso e =
2,71828..., um numero nao apenas irracional mas transcendente.

De fato, como vimos tem tudo a ver com majorar a soma, ou seja, encontrar
para ela um majorante, termo que atualmente nao eh muito usado e que tem
sido substituido por limite superior. Se uma ex[pressao eh majorada por um
numero L, entao L eh um limite superior dad mesma.
Abracos.
Artur       

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of victorvale
Sent: Thursday, February 12, 2004 2:58 PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] dúvida1

Olá, alguém poderia me provar isso que eu vi no livro “Curso de análise” do
Elon?
 
Seja a seqüência an = 1+1/1!+1/2!+...+1/n!
O Elon diz que ela é evidentemente cresente e além disso é limitada, pois
an  <1+1+1/2+1/2*2+ ...+1/2n-1 < 3 , para todo n    .
 
Gostaria de saber se isso tem a ver com “majorar” a soma e que alguém me
explicasse o que é majorar.
 
Obrigado,
 
Victor.


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