Re: [obm-l] Produto de comutadores

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> HelpOi, pessoal:
> 
> Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores
> NÃO É necessariamnete um comutador?

Um exemplo para o qual esta pergunta é útil:
o recobrimento universal de SL(2,R).
Todo elemento é um produto de um número suficientemente
grande de comutadores mas nem todo elemento é um comutador.
Um elemento deste grupo pode ser descrito por um caminho
g: [0,1] -> SL(2,R) com g(0) = I, onde identificamos dois
caminhos quando eles têm o mesmo ponto final e são homotópicos
fixando estes pontos. Tome

       ( cos(4 pi t)  -sen(4 pi t) )
g(t) = (                           ).
       ( sen(4 pi t)   cos(4 pi t) )

O elemento g não é um produto de dois comutadores.
Este fato é usado para provar que um bitoro não admite
estrutura afim. Veja
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/workshop.ps.gz

Eu sei que existe um grupo finito relativamente pequeno
para o qual também vale o que você falou. Tente A5:
todo elemento é um produto de comutadores mas eu *acho*
que nem todo elemento é um comutador.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================