Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de 2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans ou algebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia.
Oi, Bruno:
Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.
Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?).
Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente.
Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo.
Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção.
Como A é enumerável, F(A) é enumerável.
Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável.
Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável ==>
contradição ==>
F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles).
A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico?
O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico.
De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM
Subject: [obm-l] Problema para Artur
Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente??
pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.