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Oi, Bruno:
Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider)
que diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b
irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas
notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.
Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral
sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer
absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece
algum?).
Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve
assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente.
Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T,
onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes
no intervalo.
Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) =
x^x. F é claramente uma bijeção.
Como A é enumerável, F(A) é
enumerável.
Se F(T) só contém números algébricos, então
F(T) também é enumerável.
Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U
F(T) é enumerável ==>
contradição ==>
F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma
infinidade não-enumerável deles).
A questão que permanece é: existe algum
transcendente x tal que x^x é algébrico?
O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois
raiz(2) é algébrico.
De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider
com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente.
Um abraço,
Claudio.
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